Para cada um dos itens a seguir, determine a solução da equação diferencial:
y^{\prime}=x^{2} y e^{x y}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Problema: resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = x^{2} y e^{x y}.
  • Pergunta: determinar a família de soluções gerais (ou seja, a solução geral).
  • Informação óbvia: trata-se de uma equação de primeira ordem não-linear. Verificar soluções particulares simples (por exemplo y\equiv 0) também faz parte da solução.
Agora que sabemos exatamente o que queremos (a solução geral), passo para o desenvolvimento.

Passo 2

Primeira observação simples: testar soluções óbvias.
  • Se y(x)\equiv 0 então y'=0 e o lado direito x^{2}y e^{x y}=x^{2}\cdot 0\cdot e^{0}=0. Logo y\equiv 0 é solução. Vou anotar:
\text{Solução particular: } y(x)\equiv 0.çã
Para resolver o caso y\not\equiv 0 (soluções não nulas), vamos tentar transformar a equação de um jeito que permita integrar. Vou explicar passo a passo cada mudança de variável que uso e por que.

Passo 3

Reescrever a equação de forma que surja alguma substituição útil.
A equação é
\frac{dy}{dx}=x^{2} y e^{x y}.
Uma ideia natural quando aparece x y dentro de uma exponencial é usar a variável composta
\text{defina } t(x):=x y(x).
Essa substituição é intuitiva porque a combinação x y aparece repetidamente; com t tentamos reduzir a dependência mista x e y.
Vou calcular dt/dx em função de x e y:
t=x y \quad\Rightarrow\quad \frac{dt}{dx}=y + x\frac{dy}{dx}.
Substituo \frac{dy}{dx} usando a equação dada:
\frac{dt}{dx}=y + x\bigl(x^{2} y e^{x y}\bigr)=y + x^{3} y e^{x y}.
Como t=x y e e^{x y}=e^{t}, posso escrever
\frac{dt}{dx}= \frac{t}{x} + x^{2} t e^{t}.
(Observe: y = t/x, então y = t/x foi usado para reescrever y em termos de t e x.)

Passo 4

Observar a forma da equação em t. Reescrevo a equação encontrada de modo que ela fique explícita em \dfrac{dt}{dx}:
\frac{dt}{dx}= \frac{t}{x} + x^{2} t e^{t}.
Dividindo por t (estamos tratando o caso t\neq 0, que corresponde a y\neq 0):
\frac{1}{t}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} + x^{2} e^{t}.
A esquerda é \dfrac{d}{dx}(\ln t). Assim temos
\frac{d}{dx}\bigl(\ln t\bigr) = \frac{1}{x} + x^{2} e^{t}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Aqui faço uma observação didática importante:
  • A igualdade acima é uma identidade envolvendo t(x). Integrando em x obtemos uma relação implícita entre t e x:
\int \frac{d}{dx}(\ln t)\,dx = \int \left(\frac{1}{x} + x^{2} e^{t(x)}\right)\,dx.
  • O lado esquerdo integra imediatamente para \ln t.
  • O termo \int \frac{1}{x}\,dx integra para \ln x.
  • O termo \int x^{2} e^{t(x)}\,dx não é uma integral elementar em que possamos separar x e t, porque t depende de x. Portanto a integração leva a uma relação implícita que envolve uma integral que não pode ser expressa por funções elementares simples. Neste ponto é apropriado reconhecer que a solução geral será dada implicitamente ou por uma função especial (por exemplo integrais exponenciais) — isto é algo comum em equações diferenciais não-lineares.
Assim, integrando obtemos:
\ln t = \ln x + \int x^{2} e^{t(x)}\,dx + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Manipular a expressão para escrever a solução de forma implícita mais clara e relacioná‑la com funções especiais.
Da igualdade do Passo 5:
\ln\!\bigl(t\bigr)-\ln x = \int x^{2} e^{t(x)}\,dx + C.
Mas \ln t - \ln x = \ln\!\bigl(\tfrac{t}{x}\bigr) e lembrando t=x y temos \tfrac{t}{x}=y. Então a relação fica
\ln y = \int x^{2} e^{x y(x)}\,dx + C.
Essa é uma forma implícita da solução: a função y(x) satisfaz a igualdade acima. Em muitos problemas de ED de forma semelhante, a integral do lado direito não pode ser feita em termos de funções elementares — então a solução geral fica definida implicitamente por essa relação, ou por uma equação envolvendo funções especiais (como a função exponencial integral \operatorname{Ei}).
Uma maneira alternativa de escrever a mesma relação é mover o log para o outro lado:
\int x^{2} e^{x y(x)}\,dx = \ln y - C.

Passo 7

Interpretação prática e soluções particulares.
  • A solução trivial y\equiv 0 já foi obtida.
  • Para soluções não nulas, a equação leva a uma relação implícita entre x e y:
\ln y - \int x^{2} e^{x y(x)}\,dx = C,
ou equivalentemente
\ln y = \int x^{2} e^{x y(x)}\,dx + C.
  • Se desejar expressar a solução usando funções especiais, pode-se transformar a integral por partes da combinação adequada e escrever uma relação que envolva a função exponencial integral \operatorname{Ei}. Essa expressão com \operatorname{Ei} fornece a solução implícita em termos de uma função especial, mas a forma explícita y=y(x) em termos de funções elementares não existe, ou ao menos não é expressável por manipulações elementares padrão.

Passo 8

Resumo do que foi encontrado e comentário final motivador.
  • Conclui‑se que a equação é não‑linear e não permite uma separação simples que leve a uma solução elementar fechada.
  • A família de soluções gerais é dada implicitamente por
\ln y = \int x^{2} e^{x y(x)}\,dx + C,
com y\equiv 0 como solução particular.
  • Se for necessário um valor explícito numérico de y(x) para uma condição inicial dada, a estratégia prática na prova (ou em trabalho computacional) é:
    1. identificar y\equiv 0 se a condição inicial for y(x_{0})=0;
    2. caso contrário, trabalhar com a relação implícita acima e, se solicitado, usar métodos numéricos (Euler, Runge–Kutta) para obter y(x) ou recorrer a выражения em termos de \operatorname{Ei} para escrever a solução em função de uma integral especial.

Resposta

y(x)\equiv 0 \
Para y\not\equiv 0, a solução geral é dada implicitamente por
\ln y(x)=\int x^{2}e^{x y(x)}\,dx + C,
onde C é constante de integração.

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