Para cada um dos itens a seguir, determine a solução da equação diferencial:
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados que temos.
- Problema: resolver a equação diferencial de primeira ordem
- Pergunta: determinar a família de soluções gerais (ou seja, a solução geral).
- Informação óbvia: trata-se de uma equação de primeira ordem não-linear. Verificar soluções particulares simples (por exemplo
) também faz parte da solução.
Agora que sabemos exatamente o que queremos (a solução geral), passo para o desenvolvimento.
Passo 2
Primeira observação simples: testar soluções óbvias.
- Se
então e o lado direito . Logo é solução. Vou anotar:
Para resolver o caso
(soluções não nulas), vamos tentar transformar a equação de um jeito que permita integrar. Vou explicar passo a passo cada mudança de variável que uso e por que.
Passo 3
Reescrever a equação de forma que surja alguma substituição útil.
A equação é
Uma ideia natural quando aparece
dentro de uma exponencial é usar a variável composta
Essa substituição é intuitiva porque a combinação
aparece repetidamente; com
tentamos reduzir a dependência mista
e
.
Vou calcular
em função de
e
:
Substituo
usando a equação dada:
Como
e
, posso escrever
(Observe:
, então
foi usado para reescrever
em termos de
e
.)
Passo 4
Observar a forma da equação em
. Reescrevo a equação encontrada de modo que ela fique explícita em
:
Dividindo por
(estamos tratando o caso
, que corresponde a
):
A esquerda é
. Assim temos
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Aqui faço uma observação didática importante:
- A igualdade acima é uma identidade envolvendo
. Integrando em obtemos uma relação implícita entre e :
- O lado esquerdo integra imediatamente para
. - O termo
integra para . - O termo
não é uma integral elementar em que possamos separar e , porque depende de . Portanto a integração leva a uma relação implícita que envolve uma integral que não pode ser expressa por funções elementares simples. Neste ponto é apropriado reconhecer que a solução geral será dada implicitamente ou por uma função especial (por exemplo integrais exponenciais) — isto é algo comum em equações diferenciais não-lineares.
Assim, integrando obtemos:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Manipular a expressão para escrever a solução de forma implícita mais clara e relacioná‑la com funções especiais.
Da igualdade do Passo 5:
Mas
e lembrando
temos
. Então a relação fica
Essa é uma forma implícita da solução: a função
satisfaz a igualdade acima. Em muitos problemas de ED de forma semelhante, a integral do lado direito não pode ser feita em termos de funções elementares — então a solução geral fica definida implicitamente por essa relação, ou por uma equação envolvendo funções especiais (como a função exponencial integral
).
Uma maneira alternativa de escrever a mesma relação é mover o log para o outro lado:
Passo 7
Interpretação prática e soluções particulares.
- A solução trivial
já foi obtida. - Para soluções não nulas, a equação leva a uma relação implícita entre
e :
ou equivalentemente
- Se desejar expressar a solução usando funções especiais, pode-se transformar a integral por partes da combinação adequada e escrever uma relação que envolva a função exponencial integral
. Essa expressão com fornece a solução implícita em termos de uma função especial, mas a forma explícita em termos de funções elementares não existe, ou ao menos não é expressável por manipulações elementares padrão.
Passo 8
Resumo do que foi encontrado e comentário final motivador.
- Conclui‑se que a equação é não‑linear e não permite uma separação simples que leve a uma solução elementar fechada.
- A família de soluções gerais é dada implicitamente por
com
como solução particular.
- Se for necessário um valor explícito numérico de
para uma condição inicial dada, a estratégia prática na prova (ou em trabalho computacional) é: - identificar
se a condição inicial for ; - caso contrário, trabalhar com a relação implícita acima e, se solicitado, usar métodos numéricos (Euler, Runge–Kutta) para obter
ou recorrer a выражения em termos de para escrever a solução em função de uma integral especial.
- identificar
Resposta
Para
onde
é constante de integração.