Descreva explicitamente uma transformação linear F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cujo núcleo seja a reta y=x e cuja imagem seja a reta y=3 x.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 de posto 1 cujo núcleo seja a reta y=x e cuja imagem seja a reta y=3x. Para isso vamos construir F como o produto de um funcional linear, que se anula em y=x, por um vetor que gera a reta y=3x.

Passo 2

Escolhemos o funcional \ell:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dado por \ell(x,y)=y-x.
Então
\ker\ell=\{(x,y)\mid y-x=0\}=\{(x,x)\},
ou seja, a reta y=x.

Passo 3

Para que \Im F seja a reta y=3x, usamos como gerador o vetor \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}. Definimos
F(x,y)=\ell(x,y)\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}=(y-x)\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Verificação: F(x,y)=0 se e somente se y-x=0, logo \ker F=\{(x,x)\}. Como todo valor de F é múltiplo de \bigl(1,3\bigr), tem-se \Im F=\{(\lambda,3\lambda)\}, ou seja, a reta y=3x.

Resposta

F(x,y)=(y-x,\;3(y-x)).

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