Dê, quando possível, exemplos de transformações lineares satisfazendo as condições dos itens abaixo. Quando não for possível, justifique.
(d) M: M_{2}(\mathbb{C}) \rightarrow P_{3}(\mathbb{R}) isomorfismo.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear
M: M_{2}(\mathbb{C}) \to P_{3}(\mathbb{R})
que seja isomorfismo. Aqui M_{2}(\mathbb{C}) é o espaço das matrizes 2\times2 com coeficientes complexos e P_{3}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios reais de grau <=3. Para existir isomorfismo linear precisamos que ambos os espaços tenham mesma dimensão sobre o mesmo corpo de escalares.

Passo 2

Vamos verificar as dimensões como espaços sobre \mathbb{R}:
M_{2}(\mathbb{C}) visto como espaço real tem dimensão
\dim_{\mathbb{R}}M_{2}(\mathbb{C}) =2\cdot2\times2 =8,
pois cada entrada complexa equivale a duas coordenadas reais.
P_{3}(\mathbb{R}) visto como espaço real tem dimensão
\dim_{\mathbb{R}}P_{3}(\mathbb{R}) =4
(pois um polinômio genérico a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3} tem 4 coeficientes reais).

Passo 3

Como \dim_{\mathbb{R}}M_{2}(\mathbb{C})=8\neq4=\dim_{\mathbb{R}}P_{3}(\mathbb{R}), não existe bijeção linear entre esses espaços quando vistos sobre \mathbb{R}.

Resposta

Não é possível encontrar tal isomorfismo, pois as dimensões sobre \mathbb{R} são diferentes.

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