Descreva a forma de uma equação diferencial de Bernoulli, e como resolvê-la.

Passo 1

A questão pede para explicar o que é uma equação diferencial de Bernoulli e mostrar como resolvê-la, o que cai na matéria de EDOs não lineares. Para isso vamos identificar sua forma geral e usar uma transformação que a torna linear.

Passo 2

A equação de Bernoulli tem a forma geral y' + P(x),y = Q(x),y^n, onde P e Q são funções de x e n é um real qualquer diferente de 0 e 1.

Passo 3

O primeiro passo de resolução é dividir toda a equação por y^n para obter
y^-ny' + P(x),y^1-n = Q(x)

Passo 4

Aí vem o pulo do gato: fazemos a substituição u = y^1-n. Aí vemos que
u' = (1-n),y^-n,y'

Passo 5

Substituindo y^-ny' = u'/(1-n) e y^1-n=u na equação dividida, ela vira uma equação linear em u:
u'1-n + P(x),u = Q(x)Longrightarrow u' + (1-n)P(x),u = (1-n)Q(x)

Passo 6

Agora resolvemos essa EDO linear usual: achar o fator integrante
mu(x)=e^integral (1-n)P(x),dx, multiplicar tudo por mu(x) e integrar. Assim
u(x)=e^-integral (1-n)P,dxl(integral (1-n)Q(x)e^integral (1-n)P,dx,dx + Cr)

Passo 7

Por fim voltamos para y usando y = u^1/(1-n), recuperando a solução geral de y.

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli y'+P(x)y=Q(x)y^n é
y(x)=[e^-integral(1-n)P(x),dxl(integral(1-n)Q(x)e^integral(1-n)P(x),dx,dx + Cr)]^!1/(1-n)

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