Descreva a forma de uma equação diferencial de Bernoulli, e como resolvê-la.
Passo 1
A questão pede para explicar o que é uma equação diferencial de Bernoulli e mostrar como resolvê-la, o que cai na matéria de EDOs não lineares. Para isso vamos identificar sua forma geral e usar uma transformação que a torna linear.
Passo 2
A equação de Bernoulli tem a forma geral
, onde
e
são funções de
e
é um real qualquer diferente de 0 e 1.
Passo 3
O primeiro passo de resolução é dividir toda a equação por
para obter
Passo 4
Aí vem o pulo do gato: fazemos a substituição
. Aí vemos que
Passo 5
Substituindo
e
na equação dividida, ela vira uma equação linear em
:
Passo 6
Agora resolvemos essa EDO linear usual: achar o fator integrante
Passo 7
Por fim voltamos para
usando
, recuperando a solução geral de
.
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli
é