Calcule a distância entre os seguintes pares de pontos:
(a) (2,1,5) e (6,-1,2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Os pontos dados são:
  • Primeiro ponto: (2,1,5).
  • Segundo ponto: (6,-1,2).
    Ou seja, as coordenadas são:
(x_1,y_1,z_1) = (2,1,5), \qquad (x_2,y_2,z_2) = (6,-1,2).

Passo 2

A fórmula que usamos é a distância Euclidiana entre dois pontos em \mathbb{R}^3. Essa fórmula diz:
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Explicando cada símbolo:
  • d é a distância entre os dois pontos.
  • x_1,y_1,z_1 são as coordenadas do primeiro ponto.
  • x_2,y_2,z_2 são as coordenadas do segundo ponto.
    A ideia física/geométrica é aplicar o teorema de Pitágoras em três direções ortogonais: os quadrados das diferenças nas três coordenadas somam, e a raiz quadrada dá a distância.

Passo 3

Agora substituímos as coordenadas dos pontos na fórmula:
d=\sqrt{(6-2)^2+(-1-1)^2+(2-5)^2}.

Passo 4

Calculemos cada diferença coordenada a coordenada:
6-2 = 4, \qquad -1-1 = -2, \qquad 2-5 = -3.
Observação: diferenças negativas aparecem, mas em seguida vamos elevar ao quadrado, então o sinal não importará para o termo final (porque (-a)^2=a^2).

Passo 5

Agora elevamos cada diferença ao quadrado:
4^2 = 16, \qquad (-2)^2 = 4, \qquad (-3)^2 = 9.

Passo 6

Somamos os quadrados:
16 + 4 + 9 = 29.

Passo 7

Por fim, a distância é a raiz quadrada dessa soma:
d = \sqrt{29}.
Se quiser uma aproximação decimal, \sqrt{29}\approx 5,385. Força aí — na prova, escrever \sqrt{29} é uma resposta exata e perfeita.

Resposta

\sqrt{29}

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