Calcule a distância entre os seguintes pares de pontos:
(a)
e
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Os pontos dados são:
- Primeiro ponto:
. - Segundo ponto:
.
Ou seja, as coordenadas são:
Passo 2
A fórmula que usamos é a distância Euclidiana entre dois pontos em
. Essa fórmula diz:
Explicando cada símbolo:
-
é a distância entre os dois pontos. -
são as coordenadas do primeiro ponto. -
são as coordenadas do segundo ponto.
A ideia física/geométrica é aplicar o teorema de Pitágoras em três direções ortogonais: os quadrados das diferenças nas três coordenadas somam, e a raiz quadrada dá a distância.
Passo 3
Agora substituímos as coordenadas dos pontos na fórmula:
Passo 4
Calculemos cada diferença coordenada a coordenada:
Observação: diferenças negativas aparecem, mas em seguida vamos elevar ao quadrado, então o sinal não importará para o termo final (porque
).
Passo 5
Agora elevamos cada diferença ao quadrado:
Passo 6
Somamos os quadrados:
Passo 7
Por fim, a distância é a raiz quadrada dessa soma:
Se quiser uma aproximação decimal,
. Força aí — na prova, escrever
é uma resposta exata e perfeita.