1. Descreva o modelo quântico para a origem do momento de dipólo magnético orbital \vec{\mu}_{L} de um átomo.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o modelo quântico que explica a origem do momento de dipolo magnético orbital \vec{\mu}_{L} de um átomo. O conteúdo envolve conceitos de mecânica quântica e eletromagnetismo atômico: precisamos ligar o operador momento angular orbital \vec{L} ao momento magnético \vec{\mu}_{L} por meio do movimento de carga do elétron.

Passo 2

Começamos lembrando a analogia clássica: um elétron de carga -e descrevendo uma órbita gera uma corrente I, que produz um momento magnético
\vec{\mu} = I\,\vec{A}\,,
onde \vec{A} é a área vetorial do circuito. Para uma carga em órbita circular de raio r e frequência angular \omega, a corrente vale
I = \frac{-e}{T} = -e\frac{\omega}{2\pi}\,,
e a área é A=\pi r^{2}. Assim, classicamente
\mu = -e\,\frac{\omega}{2\pi}\,\pi r^{2} = -\frac{e}{2}\,\omega r^{2}\,.
Por outro lado, o momento angular clássico é
L = m\,r^{2}\,\omega\,.
Com isso, obtém-se
\mu = -\frac{e}{2m}\,L\,.

Passo 3

Na mecânica quântica, o momento angular orbital vira um operador \vec{L} com componentes (L_x,L_y,L_z) que satisfazem as relações de comutação [\!L_i,L_j\!]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}L_k. Analogamente ao caso clássico, definimos o operador momento magnético orbital por
\vec{\mu}_{L} = -\frac{e}{2m_{e}}\,\vec{L}\,,
onde m_{e} é a massa do elétron.

Passo 4

Para ver isso “em ação”, podemos calcular o valor esperado de \vec{\mu}_{L} num autoestado de L^2 e L_z. Em tais estados \langle\vec{L}\rangle aponta numa direção bem definida (por exemplo o eixo z), e assim
\langle \mu_{L,z}\rangle = -\frac{e}{2m_{e}}\;\langle L_{z}\rangle = -\frac{e}{2m_{e}}\;m\hbar\,,
onde m é o número quântico magnético. Isso mostra que o momento magnético é quantizado e proporcional ao número quântico magnético.

Passo 5

O fator \gamma_{L} = e/(2m_{e}) é chamado de razão giromagnética orbital. Em unidades atômicas é comum escrever o momento magnético em termos do magneton de Bohr
\mu_{B} = \frac{e\hbar}{2m_{e}}\,,
ficando
\vec{\mu}_{L} = -\frac{\mu_{B}}{\hbar}\,\vec{L}\,.

Resposta

A origem quântica do momento de dipolo magnético orbital de um átomo vem do operador momento angular orbital \vec{L} do elétron, via
\boxed{\vec{\mu}_{L} = -\frac{e}{2m_{e}}\,\vec{L} = -\frac{\mu_{B}}{\hbar}\,\vec{L}}\,,
mostrando que o movimento orbital da carga gera um momento magnético quantizado.

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