1. Mostre como se constrói a Lei de Biot-Savart, dado por:
d \vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{i d \vec{l} \times \hat{r}}{r^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos como se constrói, a partir de princípios físicos e simetrias, a expressão diferencial da Lei de Biot–Savart
d\vec B = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{i\,d\vec\ell \times \hat r}{r^{2}}.
O conteúdo aqui é magnetostática e usamos o princípio da superposição de campos, além de argumentos de simetria e da analogia com a Lei de Coulomb.

Passo 2

Começamos supondo que cada pequeno trecho de corrente i\,d\vec\ell gera infinitesimalmente um campo magnético d\vec B. Pela linearidade experimentalmente observada, d\vec B deve ser proporcional à intensidade de corrente i e ao comprimento do elemento d\vec\ell:
d\vec B \propto i\,d\vec\ell.

Passo 3

Para determinar a direção de d\vec B, usamos a regra da mão direita: o campo magnético gerado por i\,d\vec\ell em um ponto a um vetor \vec r do elemento corrente é perpendicular ao plano formado por d\vec\ell e \vec r. Em notação vetorial, isso se escreve como produto vetorial:
d\vec B \propto d\vec\ell \times \vec r.

Passo 4

Pela simetria e pela dispersão geométrica do campo no espaço, o módulo de d\vec B deve decair como o inverso do quadrado da distância r = \|\vec r\|. Para separar direção e módulo, substituímos \vec r = r\,\hat r, obtendo
d\vec B \propto \frac{d\vec\ell \times \hat r}{r^{2}}.

Passo 5

Por fim, introduzimos a constante de proporcionalidade \mu_{0}/4\pi, definida experimentalmente e consistente com a unidade de campo magnético no SI e com a Lei de Ampère em suas formas integrais. Assim chegamos à forma diferencial final:

Resposta

d\vec B = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{i\,d\vec\ell \times \hat r}{r^{2}}.

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