1. Mostre como a análise dimensional mostra a necessidade da constante \frac{\mu_{0}}{4 \pi} com dimensão de T \frac{m}{A}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por análise dimensional, que na Lei de Biot–Savart surge um fator \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} cuja dimensão é de tesl a\cdot metro por ampere. O conteúdo é magnetismo e vamos usar a forma diferencial da Lei de Biot–Savart:
\mathrm{d}B \;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I\,\mathrm{d}\ell\;\sin\theta}{r^{2}}.

Passo 2

Extraímos apenas as dimensões de cada grandeza em \mathrm{d}B. Do lado esquerdo, \mathrm{d}B tem dimensão de campo magnético:
[\mathrm{d}B]=[B]=\text{T}.
Do lado direito, I é corrente elétrica com dimensão \text{A}, \mathrm{d}\ell é comprimento com dimensão \text{m}, e r^{2} tem dimensão \text{m}^{2}. O seno e o 4\pi são adimensionais. Assim
[B]=\bigl[\mu_{0}\bigr]\;\frac{[I]\,[\mathrm{d}\ell]}{[r^{2}]} \;=\; \bigl[\mu_{0}\bigr]\,\frac{\text{A}\,\text{m}}{\text{m}^{2}} \;=\; \bigl[\mu_{0}\bigr]\,\frac{\text{A}}{\text{m}}.

Passo 3

Agora isolamos \bigl[\mu_{0}\bigr]. Como o campo magnético tem dimensão T, obtemos
\text{T} =\bigl[\mu_{0}\bigr]\,\frac{\text{A}}{\text{m}} \quad\longrightarrow\quad \bigl[\mu_{0}\bigr] =\text{T}\,\frac{\text{m}}{\text{A}}.

Resposta

A análise dimensional mostra que a constante \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} deve ter dimensão de
\text{T}\,\frac{\text{m}}{\text{A}}.

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