Descreva em palavras a regiâo de \mathrm{R}^{3} representada pela equação ou inequação.
x^{2}+y^{2}+z^{2} \approx 3

Passo 1

O enunciado dá a expressão \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\approx 3\, e pede que a gente descreva, em palavras, a região de \mathrm{R}^{3} que isso representa. Informações dadas que eu preciso guardar:
  • As variáveis são \,x,y,z\in\mathrm{R}\,.
  • O lado esquerdo é a soma dos quadrados \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\,.
  • O lado direito é o número \,3\,.
  • O sinal entre eles é \,\approx (aproximação). Vou explicar as duas interpretações naturais: (A) tratar como igualdade exata \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\, e (B) interpretar \,\approx\, como “próximo de” (uma casca esférica fina). O enunciado pediu uma descrição em palavras; a resolução seguirá mostrando o que cada interpretação significa geometricamente.

Passo 2

Entendendo o significado geométrico da expressão \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\,.
A quantidade \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\, é o quadrado da distância do ponto (x,y,z) até a origem (0,0,0). Formalmente:
\text{dist}\big((x,y,z),(0,0,0)\big)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Explicando devagar: se você tem um ponto (x,y,z), o comprimento do segmento que liga esse ponto à origem vem da fórmula da distância em três dimensões — é exatamente a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas. Logo, controlar \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\, é controlar o quadrado da distância ao centro.

Passo 3

Interpretação A: tratar \,\approx como igualdade exata, isto é \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\,.
Se \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\,, então a distância do ponto à origem satisfaz
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{3}.
Ou seja, todos os pontos que estão a uma distância exatamente \,\sqrt{3}\, da origem. Geometricamente isso é a superfície de uma esfera (a “casca” externa, sem interior) de centro na origem e raio \,\sqrt{3}\,. Em palavras simples: é a superfície esférica centrada em (0,0,0) com raio \sqrt{3}.

Passo 4

Exemplos para fixar a ideia (interpretação A).
  • O ponto \,\big(\sqrt{3},0,0\big)\, pertence à superfície porque
\big(\sqrt{3}\big)^{2}+0^{2}+0^{2}=3.
  • O ponto \,\big(1,1,1\big)\, não pertence porque
1^{2}+1^{2}+1^{2}=3,
espera — esse sim pertence! (ó: às vezes bate surpresa gostosa — aqui (1,1,1) também está sobre a esfera). Esses cálculos servem para você checar pontos na prova sem segredo: substitui, soma os quadrados e compara com 3.

Passo 5

Interpretação B: interpretar \,\approx como “aproximadamente igual”, isto é, a condição “próximo de 3” em vez de exatamente igual.
Na prática, dizer que \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\approx 3\, pode significar que os pontos satisfazem algo como
\big|x^{2}+y^{2}+z^{2}-3\big|<\varepsilon
para algum pequeno \,\varepsilon>0. Geometricamente isso descreve uma casca esférica (um “anel” esférico) com espessura dependente de \varepsilon: são todos os pontos cuja distância à origem está entre \sqrt{3-\varepsilon} e \sqrt{3+\varepsilon}. Em palavras: uma camada fina ao redor da esfera de raio \sqrt{3}.

Passo 6

Como escrever isso com distâncias (útil pra prova):
  • Igualdade exata:
\{(x,y,z)\in\mathrm{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\}
é a superfície esférica de centro (0,0,0) e raio \sqrt{3}.
  • Aproximação com tolerância \varepsilon:
\{(x,y,z)\in\mathrm{R}^{3} \mid |x^{2}+y^{2}+z^{2}-3|<\varepsilon\}
é a casca esférica fina entre as esferas de raios \sqrt{3-\varepsilon} e \sqrt{3+\varepsilon}.

Passo 7

Visualização intuitiva e dica para prova.
Pense na esfera como a casca de uma laranja. A igualdade exata é a casca infinitesimal (apenas a casca, sem polpa). A interpretação “aproximadamente” é pegar uma fatia fina da casca — ainda muito parecida com a casca, mas com alguma espessura. Na prova, se o enunciado usar o símbolo \,=, descreva “superfície esférica de raio \sqrt{3} centrada na origem”; se usar \,\le ou \,< ou \,\ge descreva interior/fecho/exterior conforme o caso; se usar \,\approx justifique qual tolerância você está assumindo ou diga que corresponde a uma casca esférica fina.

Resposta

A superfície esférica de centro (0,0,0) e raio \sqrt{3} (se interpretarmos \approx como igualdade exata x^{2}+y^{2}+z^{2}=3); se interpretarmos \approx como “próximo de”, então trata-se de uma casca esférica fina em torno dessa superfície, isto é, o conjunto de pontos cuja distância à origem é aproximadamente \sqrt{3}.

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