Descreva em palavras a regiâo de \mathrm{R}^{3} representada pela equação ou inequação.
x^{2}+y^{2}=4, z=-1

Passo 1

O enunciado pede: descrever em palavras a região de \mathbb{R}^{3} dada simultaneamente por
x^{2}+y^{2}=4,\quad z=-1.
Informações dadas:
  • Temos a equação \,x^{2}+y^{2}=4.
  • Temos a equação \,z=-1.
    Ambas são igualdades, ou seja, buscamos os pontos que satisfazem as duas condições ao mesmo tempo.

Passo 2

Interpretação da equação \,x^{2}+y^{2}=4 em \mathbb{R}^{3}.
  • Na geometria plana, \,x^{2}+y^{2}=r^{2} descreve uma circunferência de raio r centrada na origem do plano xy.
  • Em \mathbb{R}^{3}, a equação \,x^{2}+y^{2}=4 não envolve z. Isso significa que para qualquer valor de z a condição sobre x e y é a mesma: portanto é um cilindro circular reto com eixo paralelo ao eixo z e raio 2. Em palavras: é o conjunto de todos os pontos cuja projeção no plano xy está a distância 2 da origem.

Passo 3

Interpretação da equação \,z=-1.
  • A equação \,z=-1 descreve um plano paralelo ao plano xy, deslocado para baixo até o nível z=-1. É um plano horizontal que contém todos os pontos com coordenada z igual a -1.

Passo 4

Intersecção das duas superfícies.
  • Queremos os pontos que pertencem ao cilindro \,x^{2}+y^{2}=4 e ao plano \,z=-1 ao mesmo tempo.
  • Fixando \,z=-1 e impondo \,x^{2}+y^{2}=4, obtemos exatamente a circunferência de raio 2 situada no plano z=-1.
  • Formalmente, o conjunto solução é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=4,\; z=-1\}.

Passo 5

Representação paramétrica e características finais (para visualizar e usar na prova).
  • Uma parametrização conveniente dessa circunferência é
\begin{cases} x=2\cos t,\\[4pt] y=2\sin t,\\[4pt] z=-1, \end{cases}\qquad t\in[0,2\pi).
  • Características: é uma circunferência de raio \,2, centrada no ponto \,(0,0,-1), contida no plano \,z=-1.]

Resposta

Uma circunferência de raio \,2, centrada em (0,0,-1), contida no plano \,z=-1.

Exercícios relacionados