Descreva em palavras a regiâo de \mathrm{R}^{3} representada pela equação ou inequação.
x^{2}+z^{2} \approx 9

Passo 1

O enunciado pede: descrever em palavras a região de \mathbb{R}^{3} representada por
x^{2}+z^{2}\approx 9.
Informações dadas: a expressão envolve apenas as coordenadas x e z; a coordenada y não aparece na expressão. A tarefa é transformar essa expressão algébrica numa descrição geométrica clara em \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Entender o significado de \;x^{2}+z^{2}\;. Para um ponto (x,y,z) em \mathbb{R}^{3}, a distância do ponto ao eixo y (ou seja, ao eixo formado por todos os pontos (0,t,0) com t\in\mathbb{R}) é a distância do ponto à origem projetada no plano xz. Essa distância é dada por
\sqrt{x^{2}+z^{2}}.
Explicando: se você “olha” para o eixo y e projeta o ponto no plano perpendicular (o plano xz), as coordenadas da projeção são (x,0,z) e a distância ao eixo y é a distância entre (x,0,z) e (0,0,0), que pela fórmula da distância euclidiana é \sqrt{x^{2}+z^{2}}.

Passo 3

Interpretar a equação \;x^{2}+z^{2}=9\; (vou tomar o símbolo \approx como equivalente a =, que é a interpretação usual nesses problemas). Se
x^{2}+z^{2}=9,
então
\sqrt{x^{2}+z^{2}}=3.
Ou seja: todos os pontos de \mathbb{R}^{3} que estão a uma distância exatamente igual a 3 do eixo y. Geometricamente isso é uma superfície cilíndrica circular de raio 3 cujo eixo é o eixo y. O cilindro é “infinito” no sentido que se estende para y\to\pm\infty, pois não há restrição sobre y.

Passo 4

Ver isto por fatias (método de cortes): para cada valor fixo de y, o conjunto de pontos com essa coordenada y que satisfazem x^{2}+z^{2}=9 é a circunferência de raio 3 no plano xz. Como isso é verdade para todo y, juntando todas essas circunferências temos um cilindro. Isso ajuda a visualizar: corte transversal perpendicular ao eixo y é sempre o mesmo círculo de raio 3.

Passo 5

Representação paramétrica (útil para a prova): a superfície pode ser parametrizada por dois parâmetros t,s assim:
x=3\cos t,\qquad z=3\sin t,\qquad y=s,
com t\in[0,2\pi) e s\in\mathbb{R}. Aqui t percorre a circunferência em cada fatia e s desloca ao longo do eixo y.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a ideia: o ponto (3,0,0) satisfaz 3^{2}+0^{2}=9 (está na superfície); o ponto (0,0,0) não satisfaz (pois 0\neq 9); o ponto (0,5,3) também satisfaz porque 0^{2}+3^{2}=9 — observe que o valor de y (aqui 5) é irrelevante.

Passo 7

Comentário sobre variações da notação (útil na prova): se o problema tivesse sido uma inequação, as interpretações seriam:
  • \;x^{2}+z^{2}<9\; ou \;x^{2}+z^{2}\le 9\;: o sólido cilíndrico (o interior do cilindro) de raio 3 em torno do eixo y — inclui ou não a superfície conforme seja \le ou <.
  • \;x^{2}+z^{2}>9\; ou \;x^{2}+z^{2}\ge 9\;: a região exterior ao cilindro (fora do cilindro), incluindo ou não a superfície conforme o sinal usado.

Resposta

Se interpretarmos \;x^{2}+z^{2}\approx 9\; como \;x^{2}+z^{2}=9\;: superfície cilíndrica circular de raio 3 com eixo igual ao eixo y (cilindro infinito ao longo de y).
Se fosse \;x^{2}+z^{2}\le 9\;: sólido cilíndrico (interior do cilindro) de raio 3 em torno do eixo y.
Se fosse \;x^{2}+z^{2}\ge 9\;: região do espaço exterior ao cilindro de raio 3 em torno do eixo y.

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