Descreva em palavras a regiâo de
representada pela equação ou inequação.
Passo 1
O enunciado pede: descrever em palavras a região de
representada por
Informações dadas: a expressão envolve apenas as coordenadas
e
; a coordenada
não aparece na expressão. A tarefa é transformar essa expressão algébrica numa descrição geométrica clara em
.
Passo 2
Entender o significado de
. Para um ponto
em
, a distância do ponto ao eixo
(ou seja, ao eixo formado por todos os pontos
com
) é a distância do ponto à origem projetada no plano
. Essa distância é dada por
Explicando: se você “olha” para o eixo
e projeta o ponto no plano perpendicular (o plano
), as coordenadas da projeção são
e a distância ao eixo
é a distância entre
e
, que pela fórmula da distância euclidiana é
.
Passo 3
Interpretar a equação
(vou tomar o símbolo
como equivalente a
, que é a interpretação usual nesses problemas). Se
então
Ou seja: todos os pontos de
que estão a uma distância exatamente igual a
do eixo
. Geometricamente isso é uma superfície cilíndrica circular de raio
cujo eixo é o eixo
. O cilindro é “infinito” no sentido que se estende para
, pois não há restrição sobre
.
Passo 4
Ver isto por fatias (método de cortes): para cada valor fixo de
, o conjunto de pontos com essa coordenada
que satisfazem
é a circunferência de raio
no plano
. Como isso é verdade para todo
, juntando todas essas circunferências temos um cilindro. Isso ajuda a visualizar: corte transversal perpendicular ao eixo
é sempre o mesmo círculo de raio
.
Passo 5
Representação paramétrica (útil para a prova): a superfície pode ser parametrizada por dois parâmetros
assim:
com
e
. Aqui
percorre a circunferência em cada fatia e
desloca ao longo do eixo
.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a ideia: o ponto
satisfaz
(está na superfície); o ponto
não satisfaz (pois
); o ponto
também satisfaz porque
— observe que o valor de
(aqui
) é irrelevante.
Passo 7
Comentário sobre variações da notação (útil na prova): se o problema tivesse sido uma inequação, as interpretações seriam:
-
ou : o sólido cilíndrico (o interior do cilindro) de raio em torno do eixo — inclui ou não a superfície conforme seja ou . -
ou : a região exterior ao cilindro (fora do cilindro), incluindo ou não a superfície conforme o sinal usado.
Resposta
Se interpretarmos
como
: superfície cilíndrica circular de raio
com eixo igual ao eixo
(cilindro infinito ao longo de
).
Se fosse : sólido cilíndrico (interior do cilindro) de raio
em torno do eixo
.
Se fosse : região do espaço exterior ao cilindro de raio
em torno do eixo
.
Se fosse
Se fosse