Descreva com palavras a superfície cuja equação é dada a seguir.
Escreva a equação em coordenadas esféricas.
z^{2}=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação
z^{2}=x^{2}+y^{2}
e pede duas coisas:
  • Descrever, em palavras, a superfície definida por essa equação.
  • Escrever a equação da mesma superfície em coordenadas esféricas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona as três coordenadas cartesianas x, y e z.
  • Não há outros dados numéricos; a superfície é a solução desse conjunto de pontos (x,y,z) no espaço.

Passo 2

Vou lembrar cuidadosamente o que são coordenadas esféricas e qual convenção vou usar (importantíssimo na prova): as coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi) são definidas por
\rho\ge 0,\qquad \theta\in[0,2\pi),\qquad \varphi\in[0,\pi],
e as relações com as cartesianas são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta, \qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta, \qquad z=\rho\cos\varphi.
Aqui:
  • \rho é a distância do ponto à origem (o comprimento do vetor posição).
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (medido a partir do eixo x positivo).
  • \varphi é o ângulo polar, medido a partir do eixo z positivo (ou seja, \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z).
Explicação intuitiva: superfícies dadas por \varphi= constante são cones com vértice na origem e eixo no eixo z; o valor de \varphi é o ângulo entre qualquer reta geratriz do cone e o eixo z.

Passo 3

Antes de substituir, é útil reescrever a equação em termos do raio cilíndrico r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. De fato,
z^{2}=x^{2}+y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad z^{2}=r^{2},
ou seja
|z|=r,
o que já dá uma pista geométrica: para cada direção no plano xy o valor de z tem magnitude igual ao raio r, sugerindo um cone com simetria em torno do eixo z.

Passo 4

Agora substituo as expressões esféricas em \,z^{2}=x^{2}+y^{2}\,. Usando
z=\rho\cos\varphi,\qquad \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi,
obtém-se
(\rho\cos\varphi)^{2}=(\rho\sin\varphi)^{2}.
Isso dá
\rho^{2}\cos^{2}\varphi=\rho^{2}\sin^{2}\varphi.

Passo 5

Trato os dois casos possíveis:
  • Se \rho=0 (o ponto é a origem), a igualdade é satisfeita. Logo a origem pertence à superfície.
  • Para \rho\neq 0 podemos dividir por \rho^{2} e obter
\cos^{2}\varphi=\sin^{2}\varphi.
Isto implica
\tan^{2}\varphi=1,
ou seja
\tan\varphi=\pm 1.
Dentro do intervalo \varphi\in[0,\pi] as soluções são
\varphi=\frac{\pi}{4}\qquad\text{ou}\qquad \varphi=\frac{3\pi}{4}.

Passo 6

Interpretação geométrica final e descrição em palavras (bem didática):
  • A condição \varphi=\tfrac{\pi}{4} corresponde a todos os pontos cujo vetor posição faz um ângulo de 45^\circ com o eixo z no lado positivo do eixo z: isto é uma “nappa” superior de um cone com vértice na origem.
  • A condição \varphi=\tfrac{3\pi}{4} corresponde à nappa inferior simétrica, cujo geratriz faz 45^\circ com o eixo z no sentido negativo.
  • A união dessas duas nappas mais a origem forma um cone duplo com eixo no eixo z, vértice na origem e meia-ângulo (ângulo entre o eixo e a geratriz) igual a 45^\circ.
Portanto, geometricamente a superfície é um cone duplo (dois cones com vértice comum na origem, eixo z), com abertura tal que cada geratriz forma 45^\circ com o eixo z.

Resposta

A superfície é um cone duplo (duas nappas) com vértice na origem e eixo no eixo z; cada geratriz forma um ângulo de 45^\circ com o eixo z.
Em coordenadas esféricas: \varphi=\dfrac{\pi}{4} ou \varphi=\dfrac{3\pi}{4} (com \rho\ge 0 e \theta arbitrário; a origem \rho=0 também pertence).

Exercícios relacionados