Descreva com palavras a superfície cuja equação é dada a seguir.
Escreva a equação em coordenadas esféricas.
Escreva a equação em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas:
- Descrever, em palavras, a superfície definida por essa equação.
- Escrever a equação da mesma superfície em coordenadas esféricas.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona as três coordenadas cartesianas
, e . - Não há outros dados numéricos; a superfície é a solução desse conjunto de pontos
no espaço.
Passo 2
Vou lembrar cuidadosamente o que são coordenadas esféricas e qual convenção vou usar (importantíssimo na prova): as coordenadas esféricas
são definidas por
e as relações com as cartesianas são
Aqui:
-
é a distância do ponto à origem (o comprimento do vetor posição). -
é o ângulo azimutal no plano (medido a partir do eixo positivo). -
é o ângulo polar, medido a partir do eixo positivo (ou seja, é o ângulo entre o vetor posição e o eixo ).
Explicação intuitiva: superfícies dadas por
constante são cones com vértice na origem e eixo no eixo
; o valor de
é o ângulo entre qualquer reta geratriz do cone e o eixo
.
Passo 3
Antes de substituir, é útil reescrever a equação em termos do raio cilíndrico
. De fato,
ou seja
o que já dá uma pista geométrica: para cada direção no plano
o valor de
tem magnitude igual ao raio
, sugerindo um cone com simetria em torno do eixo
.
Passo 4
Agora substituo as expressões esféricas em
. Usando
obtém-se
Isso dá
Passo 5
Trato os dois casos possíveis:
- Se
(o ponto é a origem), a igualdade é satisfeita. Logo a origem pertence à superfície. - Para
podemos dividir por e obter
Isto implica
ou seja
Dentro do intervalo
as soluções são
Passo 6
Interpretação geométrica final e descrição em palavras (bem didática):
- A condição
corresponde a todos os pontos cujo vetor posição faz um ângulo de com o eixo no lado positivo do eixo : isto é uma “nappa” superior de um cone com vértice na origem. - A condição
corresponde à nappa inferior simétrica, cujo geratriz faz com o eixo no sentido negativo. - A união dessas duas nappas mais a origem forma um cone duplo com eixo no eixo
, vértice na origem e meia-ângulo (ângulo entre o eixo e a geratriz) igual a .
Portanto, geometricamente a superfície é um cone duplo (dois cones com vértice comum na origem, eixo
), com abertura tal que cada geratriz forma
com o eixo
.
Resposta
A superfície é um cone duplo (duas nappas) com vértice na origem e eixo no eixo
; cada geratriz forma um ângulo de
com o eixo
.
Em coordenadas esféricas:
ou
(com
e
arbitrário; a origem
também pertence).