Descreva em coordenadas cilíndricas e faça um esboço das regiões:
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades:
0 \leq r \leq 2,0 \leq \theta \leq \pi,-2 \leq z \leq 4

Passo 1

O enunciado dá as seguintes desigualdades (em coordenadas cilíndricas) e pede uma descrição e um esboço da região:
  • 0 \le r \le 2
  • 0 \le \theta \le \pi
  • -2 \le z \le 4
O que precisa ser feito:
  • Descrever geometricamente a região definida por essas desigualdades.
  • Indicar como ela aparece em coordenadas cartesianas (se útil).
  • Explicar como fazer um esboço desse sólido (passo a passo).

Passo 2

O que significam as coordenadas cilíndricas (mini-aula rápida e sem enrolação):
  • Em coordenadas cilíndricas os pontos são dados por (r,\theta,z) com x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
  • Aqui r\ge 0 é a distância ao eixo z no plano xy, \theta é o ângulo medido a partir do eixo x para o eixo y (no sentido anti-horário), e z é a altura vertical usual.
  • Portanto, quando o enunciado fixa intervalos para r,\theta,z ele está delimitando radialmente, angularmente e verticalmente o sólido.

Passo 3

Interpretação direta de cada desigualdade:
  • 0\le r\le 2: todos os pontos cuja projeção no plano xy está dentro do círculo de raio 2 centrado na origem (inclui o interior).
  • 0\le\theta\le\pi: apenas a metade do plano angular correspondente ao semicírculo superior do plano xy (isto é, a metade com y\ge 0).
  • -2\le z\le 4: altura limitada entre z=-2 e z=4; a espessura vertical é 4-(-2)=6.
Juntando: a região é um semicílindro reto (metade de um cilindro de raio 2), com eixo ao longo de z, estendido de z=-2 até z=4.

Passo 4

Descrição em coordenadas cartesianas (tradução útil para esboçar):
  • Usando r^2=x^2+y^2 e o fato de que \theta\in[0,\pi] implica y\ge 0, a região é \{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le 4,\; y\ge 0,\; -2\le z\le 4\}.
  • Alternativamente, para cada z fixo com -2\le z\le4, a seção horizontal é o semidisco \{(x,y)\mid x^2+y^2\le4,\; y\ge0\}.

Passo 5

Identificação das superfícies que limitam o sólido (útil para o desenho):
  • Superfície curva lateral: porção do cilindro x^2+y^2=4 com y\ge 0 e -2\le z\le4.
  • Faces planas horizontais: semicírculos no plano z=4 e no plano z=-2, cada um com r\in[0,2] e \theta\in[0,\pi].
  • Face vertical de corte: o plano y=0 que fecha a frente do semicílindro; nesta face x varia em [-2,2] e z em [-2,4], formando um retângulo.

Passo 6

Como esboçar passo a passo (faça no papel):
  1. Desenhe um sistema de eixos x,y,z com z vertical, x horizontal para a direita e y saindo para cima da página (ou para dentro — escolha um convênio).
  2. No plano z=0 desenhe um semicírculo de raio 2 para y\ge0 (centro na origem), isto é a projeção no plano xy.
  3. Marque as alturas z=-2 (embaixo) e z=4 (acima). Em cada uma dessas alturas desenhe o mesmo semicírculo (esboço de semicírculos paralelos).
  4. Una as bordas correspondentes dos semicírculos por linhas curvas (essas linhas formam a superfície cilíndrica) — essas linhas serão vistas como arcos ligados entre as duas alturas.
  5. Desenhe o retângulo vertical na face y=0 que liga os dois semicírculos pela frente (é a face plana que termina o semicílindro).
  6. Identifique e anote: raio 2, altura 6 (porque 4-(-2)=6), e indique que a região corresponde a y\ge0.
Dica de visualização: outro jeito é desenhar a vista superior (projeção no plano xy): um semicírculo de raio 2. A vista lateral (por exemplo no plano xz) mostra um retângulo de largura 4 (de x=-2 a x=2 quando y=0) e altura 6, mas lembre-se que lateralmente o sólido é curvado (entre x extremos a face é curva).

Passo 7

Verificação numérica (bônus para checar entendimento): volume do sólido (não pedido, mas serve de checagem)
  • Área do semidisco de raio 2 é \tfrac{1}{2}\pi(2)^2=\tfrac{1}{2}\pi\cdot4=2\pi.
  • Multiplicando pela altura 6 dá volume V = 2\pi \cdot 6 = 12\pi.
Isso confirma a ideia de semicílindro de raio 2 e altura 6.

Resposta

Região: semicílindro reto de raio 2 e altura 6 com eixo no eixo z, correspondendo a \{(r,\theta,z)\mid 0\le r\le2,\\\ 0\le\theta\le\pi,\\\ -2\le z\le4\}.
Equivalente em coordenadas cartesianas: \{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le4,\\ y\ge0,\\\ -2\le z\le4\}.

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