Descreva em coordenadas cilíndricas e faça um esboço das regiões:
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades:
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes desigualdades (em coordenadas cilíndricas) e pede uma descrição e um esboço da região:
O que precisa ser feito:
- Descrever geometricamente a região definida por essas desigualdades.
- Indicar como ela aparece em coordenadas cartesianas (se útil).
- Explicar como fazer um esboço desse sólido (passo a passo).
Passo 2
O que significam as coordenadas cilíndricas (mini-aula rápida e sem enrolação):
- Em coordenadas cilíndricas os pontos são dados por
com - Aqui
é a distância ao eixo no plano , é o ângulo medido a partir do eixo para o eixo (no sentido anti-horário), e é a altura vertical usual. - Portanto, quando o enunciado fixa intervalos para
ele está delimitando radialmente, angularmente e verticalmente o sólido.
Passo 3
Interpretação direta de cada desigualdade:
-
: todos os pontos cuja projeção no plano está dentro do círculo de raio centrado na origem (inclui o interior). -
: apenas a metade do plano angular correspondente ao semicírculo superior do plano (isto é, a metade com ). -
: altura limitada entre e ; a espessura vertical é .
Juntando: a região é um semicílindro reto (metade de um cilindro de raio
), com eixo ao longo de
, estendido de
até
.
Passo 4
Descrição em coordenadas cartesianas (tradução útil para esboçar):
- Usando
e o fato de que implica , a região é - Alternativamente, para cada
fixo com , a seção horizontal é o semidisco .
Passo 5
Identificação das superfícies que limitam o sólido (útil para o desenho):
- Superfície curva lateral: porção do cilindro
com e . - Faces planas horizontais: semicírculos no plano
e no plano , cada um com e . - Face vertical de corte: o plano
que fecha a frente do semicílindro; nesta face varia em e em , formando um retângulo.
Passo 6
Como esboçar passo a passo (faça no papel):
- Desenhe um sistema de eixos
com vertical, horizontal para a direita e saindo para cima da página (ou para dentro — escolha um convênio). - No plano
desenhe um semicírculo de raio para (centro na origem), isto é a projeção no plano . - Marque as alturas
(embaixo) e (acima). Em cada uma dessas alturas desenhe o mesmo semicírculo (esboço de semicírculos paralelos). - Una as bordas correspondentes dos semicírculos por linhas curvas (essas linhas formam a superfície cilíndrica) — essas linhas serão vistas como arcos ligados entre as duas alturas.
- Desenhe o retângulo vertical na face
que liga os dois semicírculos pela frente (é a face plana que termina o semicílindro). - Identifique e anote: raio
, altura (porque ), e indique que a região corresponde a .
Dica de visualização: outro jeito é desenhar a vista superior (projeção no plano
): um semicírculo de raio
. A vista lateral (por exemplo no plano
) mostra um retângulo de largura
(de
a
quando
) e altura
, mas lembre-se que lateralmente o sólido é curvado (entre
extremos a face é curva).
Passo 7
Verificação numérica (bônus para checar entendimento): volume do sólido (não pedido, mas serve de checagem)
- Área do semidisco de raio
é . - Multiplicando pela altura
dá volume
Isso confirma a ideia de semicílindro de raio
e altura
.
Resposta
Região: semicílindro reto de raio
e altura
com eixo no eixo
, correspondendo a
.
Equivalente em coordenadas cartesianas: .
Equivalente em coordenadas cartesianas: