Descreva a região do plano xy que representa o domínio da função dada, represente-o geometricamente e encontre a imagem da função.
f(x, y)=raiz4-x^2-4 y^2

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio da função
f(x,y)=raiz4 - x^2 - 4y^2,
ou seja, o conjunto de todos os (x,y) que tornam o radicando não negativo, representar essa região no plano xy e, por fim, determinar a imagem de f. Vamos usar conceitos de domínio de funções com radicais, formas canônicas de curvas e propriedades da função raiz quadrada.

Passo 2

Para garantir que o radicando seja não negativo, impomos
4 - x^2 - 4y^2 >= 0
Rearranjando, obtemos
x^2 + 4y^2 <= 4
e, dividindo tudo por 4, a forma canônica de elipse:
x^22^2 + y^21^2 <= 1

Passo 3

A condição
x^22^2 + y^21^2 <= 1
descrita acima é a região interna (incluindo a fronteira) de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior a=2 no eixo x e semi-eixo menor b=1 no eixo y. Geometricamente, é um disco elíptico cheio.

Passo 4

Como 0 <= 4 - x^2 - 4y^2 <= 4 no domínio, a raiz quadrada varia de
raiz0=0 até raiz4=2 é
O valor máximo 2 ocorre em (0,0) e o valor mínimo 0 ocorre em toda a fronteira da elipse.

Resposta

Domínio:
D = l(x,y)inR^2 mid x^2 + 4y^2 <= 4r,
que equivale à elipse tfracx^22^2 + tfracy^21^2 <= 1 preenchida.
Imagem:
f(D) = [0,,2]

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