Trace as curvas de nível e esboce o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para traçarmos as curvas de nível e esboçarmos o gráfico da função
O conteúdo aqui é estudo de superfícies e curvas de nível em funções de duas variáveis. Vamos precisar resolver
para cada constante de nível
e depois entender como essa família de curvas se organiza no plano
e como produz o gráfico no espaço
.
Passo 2
Para obter as curvas de nível, igualamos
a uma constante
:
Isso significa que estamos buscando o conjunto de pontos
tais que sua imagem em
vale
.
Passo 3
Resolvendo
para
, temos
Note que essa solução só faz sentido quando
.
Passo 4
Portanto, para cada
a curva de nível é o par de retas paralelas ao eixo
dadas por
No caso
, a curva de nível degenera-se na única reta
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico de
no espaço, observe que em cada plano vertical paralelo ao plano
(isto é, para cada
fixo) a seção é a parábola
Como isso vale para todo
, a superfície é uma “parabolic cylinder” (cilindro parabólico) que se estende ao longo do eixo
.
Resposta
Curvas de nível: para cada
,
retas paralelas ao eixo
.
Gráfico da superfície: um cilindro parabólico de equação , isto é, uma parábola no plano
“extrudada” ao longo do eixo
.
Gráfico da superfície: um cilindro parabólico de equação