Trace as curvas de nível e esboce o gráfico das funções abaixo:
z=y^2

Passo 1

O enunciado pede para traçarmos as curvas de nível e esboçarmos o gráfico da função
f(x,y)=y^2
O conteúdo aqui é estudo de superfícies e curvas de nível em funções de duas variáveis. Vamos precisar resolver
y^2=k
para cada constante de nível k e depois entender como essa família de curvas se organiza no plano (x,y) e como produz o gráfico no espaço (x,y,z).

Passo 2

Para obter as curvas de nível, igualamos f(x,y) a uma constante k:
y^2=k
Isso significa que estamos buscando o conjunto de pontos (x,y) tais que sua imagem em z vale k.

Passo 3

Resolvendo ;y^2=k; para y, temos
y=pmraizk
Note que essa solução só faz sentido quando k>=0.

Passo 4

Portanto, para cada k>=0 a curva de nível é o par de retas paralelas ao eixo x dadas por
y=+raizk e y=-raizk
No caso k=0, a curva de nível degenera-se na única reta y=0.

Passo 5

Para esboçar o gráfico de z=y^2 no espaço, observe que em cada plano vertical paralelo ao plano yz (isto é, para cada x fixo) a seção é a parábola
z=y^2
Como isso vale para todo x, a superfície é uma “parabolic cylinder” (cilindro parabólico) que se estende ao longo do eixo x.

Resposta

Curvas de nível: para cada k>=0,
y=pmraizk,
retas paralelas ao eixo x.
Gráfico da superfície: um cilindro parabólico de equação z=y^2, isto é, uma parábola no plano yz “extrudada” ao longo do eixo x.

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