Descreva a região do plano xy que representa o domínio da função dada, represente-o geometricamente e encontre a imagem da função.
f(x, y)=ln (4-x-y)

Passo 1

O enunciado pede que a gente descreva o domínio de
f(x,y)=ln(4-x-y),
mostre geometricamente essa região no plano xy e, por fim, determine a imagem (ou seja, o conjunto de valores que f assume).

Passo 2

Para que ln(4-x-y) esteja bem definida em R, o argumento precisa ser positivo:
4 - x - y > 0
Dessa desigualdade obtemos
x + y < 4
Assim, o domínio de f é
D = (x,y)inR^2 mid x + y < 4

Passo 3

Geometricamente, a equação x+y=4 é uma reta no plano xy com coeficiente angular -1 que intercepta os eixos em (4,0) e (0,4). A condição x+y<4 corresponde à região aberta abaixo dessa reta (não inclui a própria reta), que se estende infinitamente para baixo e para os lados.

Passo 4

Para encontrar a imagem de f, note que o argumento 4-x-y varia em (0,infty) quando (x,y) percorre D. Como a função tmapstoln(t) mapeia (0,infty) sobre todo R, concluímos que
Im(f)=(-infty,infty)

Resposta

Domínio: (x,y)inR^2mid x+y<4, região aberta abaixo da reta x+y=4.
Imagem: R.

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