1. Descreva uma situação comum em que a aceleração de um corpo varia com o tempo.

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva uma situação comum em que a aceleração de um corpo varia com o tempo. Não foram dadas outras informações numéricas ou restrições; a tarefa é explicar um exemplo real, mostrar por que a aceleração muda com o tempo e, se possível, apresentar um modelo matemático simples que ilustre essa variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração de forma bem clara e simples.
  • A posição de um corpo ao longo do tempo é x(t).
  • A velocidade instantânea é a taxa de variação da posição:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
  • A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
  • Unidades: v em \mathrm{m/s} e a em \mathrm{m/s^{2}}.
Comentário prático: se a(t) depende de t, a velocidade muda de forma não linear — ou seja, a “intensidade” da mudança da velocidade muda ao longo do tempo.

Passo 3

Por que a aceleração pode variar com o tempo na prática? Alguns motivos cotidianos:
  • As forças que atuam no corpo mudam com o tempo (por exemplo, vento que aumenta, motor que altera a força).
  • A força resultante depende da velocidade (por exemplo, resistência do ar), então conforme a velocidade muda, a força muda e a aceleração muda também.
  • Contato variável com superfícies (atrito que aumenta/ diminui), ou manobras (frear, acelerar) controladas pelo motorista.
Agora vou escolher um exemplo simples e muito comum: um corpo em queda sob a ação da gravidade com resistência do ar. Isso aparece para gotas de chuva, paraquedistas antes de abrir o paraquedas, objetos soltos em ar, etc.

Passo 4

Descrever o cenário físico escolhido:
  • Corpo de massa m cai na vertical.
  • Forças principais: peso F_{g}=mg para baixo e força de arrasto F_{d} para cima (oposta ao movimento).
  • Um modelo simples de arrasto, válido para velocidades relativamente baixas, é o arrasto linear: F_{d}=b\,v, onde b é uma constante positiva que depende da forma do corpo e da densidade do ar. (Unidade de b: \mathrm{kg/s}.)
  • Sinalização: tomo para baixo como positivo nas equações para que mg seja positivo e b v seja negativo no balanço de forças. Pode-se escolher a convenção oposta; o importante é manter coerência.

Passo 5

Escrever a segunda lei de Newton e a equação diferencial que descreve a velocidade:
m\frac{dv}{dt}=mg - b v.
Aqui:
  • m é a massa ( \mathrm{kg});
  • g é a aceleração da gravidade ( \approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}});
  • b é o coeficiente de arrasto linear ( \mathrm{kg/s});
  • v(t) é a velocidade vertical (positivo para baixo).
Reescrevendo numa forma padrão:
\frac{dv}{dt} + \frac{b}{m}\,v = g.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem para v(t). A presença de v no termo de arrasto é a razão física pela qual a aceleração varia com o tempo: conforme v cresce, o termo b v cresce e reduz a aceleração resultante.

Passo 6

Resolver a equação diferencial passo a passo (assumindo condição inicial típica v(0)=0, ou seja, o corpo parte do repouso).
  1. Calcular o fator integrante \mu(t):
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{b}{m}\,dt\right)=\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right).
  1. Multiplicar a equação por \mu(t):
\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right)\frac{dv}{dt} + \frac{b}{m}\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right)v = g\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right).
  1. O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\!\left(\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right)v\right)=g\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right).
  1. Integrar ambos os lados de 0 até t:
\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right)v(t)-\exp(0)v(0)=g\int_{0}^{t}\exp\!\left(\frac{b}{m}s\right)\,ds.
Com v(0)=0 obtemos
\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right)v(t)=g\cdot \frac{m}{b}\left(\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right)-1\right).
  1. Isolar v(t):
v(t)=\frac{mg}{b}\left(1-\exp\!\left(-\frac{b}{m}t\right)\right).
Este resultado tem interpretação física clara: a velocidade parte de 0 e tende assintoticamente ao valor limite (velocidade terminal)
v_{T}=\frac{mg}{b}.

Passo 7

Calcular a aceleração a partir de v(t). Como a(t)=\dfrac{dv}{dt}, derivamos v(t):
a(t)=\frac{dv}{dt}= \frac{mg}{b}\cdot\frac{b}{m}\,\exp\!\left(-\frac{b}{m}t\right)=g\exp\!\left(-\frac{b}{m}t\right).
Interpretação:
  • Em t=0: a(0)=g. No instante inicial, o arrasto é zero (pois v=0) e o corpo acelera como em queda livre.
  • Quando t\to\infty: a(t)\to 0. Conforme a velocidade se aproxima de v_{T}, o arrasto equilibra o peso e a aceleração tende a zero (movimento com velocidade constante).
  • A variação é exponencial: a aceleração decresce com o tempo segundo o fator \exp\!\left(-\dfrac{b}{m}t\right). A constante de tempo é \tau=\dfrac{m}{b}: em tempo da ordem de \tau a aceleração já caiu significativamente.

Passo 8

Conexões práticas e comentários para a prova:
  • Exemplo cotidiano: um paraquedista que salta sem paraquedas aberto inicialmente tem aceleração próxima de g; depois, à medida que alcança maior velocidade, a resistência do ar cresce e a aceleração diminui até quase zero quando chega à velocidade terminal. Outro exemplo: uma gota de chuva atinge velocidade terminal.
  • Como atacar questões parecidas na prova: identificar forças, escrever m\dfrac{dv}{dt}= soma das forças, verificar se a força depende de v; resolver a equação diferencial com condições iniciais (integrando fator ou separação quando aplicável); interpretar limites ( t\to0 e t\to\infty ).
  • Caso o arrasto fosse proporcional a v^{2} (modelo para altas velocidades), a equação fica não linear e a solução muda, mas a ideia é igual: a aceleração depende de v e portanto de t.

Passo 9

Resumo motivacional: esse é um exemplo muito comum, fácil de visualizar e excelente para a prova porque mostra claramente por que e como a aceleração varia com o tempo — e ainda dá margem para calcular funções explícitas de v(t) e a(t). Você consegue resolver exercícios desses seguindo os passos: forças → equação → resolver → interpretar. Força aí que dá certo!

Resposta

Exemplo: queda de um objeto com resistência do ar linear (por exemplo, uma gota de chuva ou um paraquedista antes de abrir o paraquedas). Nesse modelo vale
m\frac{dv}{dt}=mg-bv,
resultando em
v(t)=\frac{mg}{b}\Bigl(1-e^{-(b/m)t}\Bigr), \qquad a(t)=g\,e^{-(b/m)t},
ou seja, a aceleração decresce no tempo (de a(0)=g para a(\infty)=0), variando exponencialmente devido ao arrasto.

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