- Descreva uma situação comum em que a aceleração de um corpo varia com o tempo.
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva uma situação comum em que a aceleração de um corpo varia com o tempo. Não foram dadas outras informações numéricas ou restrições; a tarefa é explicar um exemplo real, mostrar por que a aceleração muda com o tempo e, se possível, apresentar um modelo matemático simples que ilustre essa variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração de forma bem clara e simples.
- A posição de um corpo ao longo do tempo é
. - A velocidade instantânea é a taxa de variação da posição:
- A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade:
- Unidades:
em e em .
Comentário prático: se
depende de
, a velocidade muda de forma não linear — ou seja, a “intensidade” da mudança da velocidade muda ao longo do tempo.
Passo 3
Por que a aceleração pode variar com o tempo na prática? Alguns motivos cotidianos:
- As forças que atuam no corpo mudam com o tempo (por exemplo, vento que aumenta, motor que altera a força).
- A força resultante depende da velocidade (por exemplo, resistência do ar), então conforme a velocidade muda, a força muda e a aceleração muda também.
- Contato variável com superfícies (atrito que aumenta/ diminui), ou manobras (frear, acelerar) controladas pelo motorista.
Agora vou escolher um exemplo simples e muito comum: um corpo em queda sob a ação da gravidade com resistência do ar. Isso aparece para gotas de chuva, paraquedistas antes de abrir o paraquedas, objetos soltos em ar, etc.
Passo 4
Descrever o cenário físico escolhido:
- Corpo de massa
cai na vertical. - Forças principais: peso
para baixo e força de arrasto para cima (oposta ao movimento). - Um modelo simples de arrasto, válido para velocidades relativamente baixas, é o arrasto linear:
, onde é uma constante positiva que depende da forma do corpo e da densidade do ar. (Unidade de : .) - Sinalização: tomo para baixo como positivo nas equações para que
seja positivo e seja negativo no balanço de forças. Pode-se escolher a convenção oposta; o importante é manter coerência.
Passo 5
Escrever a segunda lei de Newton e a equação diferencial que descreve a velocidade:
Aqui:
-
é a massa ( ); -
é a aceleração da gravidade ( ); -
é o coeficiente de arrasto linear ( ); -
é a velocidade vertical (positivo para baixo).
Reescrevendo numa forma padrão:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. A presença de
no termo de arrasto é a razão física pela qual a aceleração varia com o tempo: conforme
cresce, o termo
cresce e reduz a aceleração resultante.
Passo 6
Resolver a equação diferencial passo a passo (assumindo condição inicial típica
, ou seja, o corpo parte do repouso).
- Calcular o fator integrante
:
- Multiplicar a equação por
:
- O lado esquerdo é a derivada do produto:
- Integrar ambos os lados de
até :
Com
obtemos
- Isolar
:
Este resultado tem interpretação física clara: a velocidade parte de
e tende assintoticamente ao valor limite (velocidade terminal)
Passo 7
Calcular a aceleração a partir de
. Como
, derivamos
:
Interpretação:
- Em
: . No instante inicial, o arrasto é zero (pois ) e o corpo acelera como em queda livre. - Quando
: . Conforme a velocidade se aproxima de , o arrasto equilibra o peso e a aceleração tende a zero (movimento com velocidade constante). - A variação é exponencial: a aceleração decresce com o tempo segundo o fator
. A constante de tempo é : em tempo da ordem de a aceleração já caiu significativamente.
Passo 8
Conexões práticas e comentários para a prova:
- Exemplo cotidiano: um paraquedista que salta sem paraquedas aberto inicialmente tem aceleração próxima de
; depois, à medida que alcança maior velocidade, a resistência do ar cresce e a aceleração diminui até quase zero quando chega à velocidade terminal. Outro exemplo: uma gota de chuva atinge velocidade terminal. - Como atacar questões parecidas na prova: identificar forças, escrever
soma das forças, verificar se a força depende de ; resolver a equação diferencial com condições iniciais (integrando fator ou separação quando aplicável); interpretar limites ( e ). - Caso o arrasto fosse proporcional a
(modelo para altas velocidades), a equação fica não linear e a solução muda, mas a ideia é igual: a aceleração depende de e portanto de .
Passo 9
Resumo motivacional: esse é um exemplo muito comum, fácil de visualizar e excelente para a prova porque mostra claramente por que e como a aceleração varia com o tempo — e ainda dá margem para calcular funções explícitas de
e
. Você consegue resolver exercícios desses seguindo os passos: forças → equação → resolver → interpretar. Força aí que dá certo!
Resposta
Exemplo: queda de um objeto com resistência do ar linear (por exemplo, uma gota de chuva ou um paraquedista antes de abrir o paraquedas). Nesse modelo vale
resultando em
ou seja, a aceleração decresce no tempo (de
para
), variando exponencialmente devido ao arrasto.