Calcule a área A que está entre o gráfico de f e o eixo horizontal, onde f é a função contínua por partes:
f(x)= \begin{cases}1, & 0 \leq x<1 \\\ x+1, & 1 \leq x<2 \\\\ 2 & 2 \leq x<3\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área A que está entre o gráfico de f e o eixo horizontal, onde f é dada por partes nos intervalos de x entre 0 e 3. As informações fornecidas são (peguei-as do enunciado):
  • Para 0 \leq x < 1: \;f(x)=1.
  • Para 1 \leq x < 2: \;f(x)=x+1.
  • Para 2 \leq x < 3: \;f(x)=2.
    A pergunta é: encontrar a área A entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo total 0 \le x < 3 (ou seja, sobre [0,3]).

Passo 2

Como a função está definida por partes em três subintervalos, podemos encontrar a área total somando as áreas correspondentes a cada subintervalo. Vou explicar as ideias que usamos (passo a passo e sem pular etapas):
  • Quando a função é constante \;f(x)=c num intervalo de comprimento \Delta x, a área sob o gráfico nesse intervalo é simplesmente a área de um retângulo de base \Delta x e altura c, ou seja \;c\cdot\Delta x.
  • Para funções polinomiais simples (como x ou x+1), a área sob a curva num intervalo é dada pela diferença da primitiva (antiderivada) avaliada nas extremidades. A antiderivada de x é \tfrac{x^{2}}{2}, e de 1 é x. Assim, uma antiderivada de x+1 é \tfrac{x^{2}}{2}+x. Para calcular a área de x+1 em [a,b] usamos
\left(\tfrac{x^{2}}{2}+x\right)\Big|_{x=a}^{x=b} = \left(\tfrac{b^{2}}{2}+b\right)-\left(\tfrac{a^{2}}{2}+a\right).
(Se preferir, geometricamente, a área sob uma linha entre dois pontos pode também ser vista como a área de um trapézio; os resultados coincidem.)
Agora vamos aplicar isso em cada subintervalo.

Passo 3

Área no intervalo [0,1]. Aqui \;f(x)=1, constante. A largura do intervalo é \;1-0=1. Portanto a área é
\text{Área}_{[0,1]} = 1\cdot 1 = 1.Á

Passo 4

Área no intervalo [1,2]. Aqui \;f(x)=x+1. Use a antiderivada \tfrac{x^{2}}{2}+x e avalie em 1 e 2:
\text{Área}_{[1,2]} = \left(\tfrac{x^{2}}{2}+x\right)\Big|_{1}^{2} = \left(\tfrac{2^{2}}{2}+2\right)-\left(\tfrac{1^{2}}{2}+1\right) = \left(\tfrac{4}{2}+2\right)-\left(\tfrac{1}{2}+1\right).Á
Agora calcule passo a passo:
\left(\tfrac{4}{2}+2\right)=2+2=4, \qquad \left(\tfrac{1}{2}+1\right)=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}.
Subtraindo,
\text{Área}_{[1,2]}=4-\tfrac{3}{2}=\tfrac{8}{2}-\tfrac{3}{2}=\tfrac{5}{2}.Á
(Observação rápida: geometricamente f(1)=2 e f(2)=3, a média das alturas é \tfrac{2+3}{2}=2{,}5 e a base é 1, então a área do trapézio é 2{,}5\cdot1=\tfrac{5}{2}, mesma coisa.)

Passo 5

Área no intervalo [2,3]. Aqui \;f(x)=2, constante, e a largura é \;3-2=1. Então
\text{Área}_{[2,3]} = 2\cdot 1 = 2.Á

Passo 6

Somando as três contribuições para obter a área total sobre [0,3]:
A = \text{Área}_{[0,1]}+\text{Área}_{[1,2]}+\text{Área}_{[2,3]} = 1 + \tfrac{5}{2} + 2 = \tfrac{11}{2}.ÁÁÁ

Resposta

\dfrac{11}{2}

Exercícios relacionados