O enunciado pede: calcular a área A que está entre o gráfico de f e o eixo horizontal, onde f é dada por partes nos intervalos de x entre 0 e 3. As informações fornecidas são (peguei-as do enunciado):
Para 0 \leq x < 1: \;f(x)=1.
Para 1 \leq x < 2: \;f(x)=x+1.
Para 2 \leq x < 3: \;f(x)=2.
A pergunta é: encontrar a área A entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo total 0 \le x < 3 (ou seja, sobre [0,3]).
Passo 2
Como a função está definida por partes em três subintervalos, podemos encontrar a área total somando as áreas correspondentes a cada subintervalo. Vou explicar as ideias que usamos (passo a passo e sem pular etapas):
Quando a função é constante \;f(x)=c num intervalo de comprimento \Delta x, a área sob o gráfico nesse intervalo é simplesmente a área de um retângulo de base \Delta x e altura c, ou seja \;c\cdot\Delta x.
Para funções polinomiais simples (como x ou x+1), a área sob a curva num intervalo é dada pela diferença da primitiva (antiderivada) avaliada nas extremidades. A antiderivada de x é \tfrac{x^{2}}{2}, e de 1 é x. Assim, uma antiderivada de x+1 é \tfrac{x^{2}}{2}+x. Para calcular a área de x+1 em [a,b] usamos
(Observação rápida: geometricamente f(1)=2 e f(2)=3, a média das alturas é \tfrac{2+3}{2}=2{,}5 e a base é 1, então a área do trapézio é 2{,}5\cdot1=\tfrac{5}{2}, mesma coisa.)
Passo 5
Área no intervalo [2,3]. Aqui \;f(x)=2, constante, e a largura é \;3-2=1. Então
\text{Área}_{[2,3]} = 2\cdot 1 = 2.Á
Passo 6
Somando as três contribuições para obter a área total sobre [0,3]: