Calcule as seguintes somas em função do parâmetro N :
S=1+2+3+\ldots+N=\sum_{i=1}^{N} i

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S = 1 + 2 + 3 + \ldots + N = \sum_{i=1}^{N} i.
Informações dadas:
  • A soma é dos inteiros consecutivos começando em 1 e indo até N.
  • O resultado deve ser uma expressão em função do parâmetro N.

Passo 2

Ideia principal (método do pareamento): escrevemos a soma na ordem direta e na ordem inversa e somamos termo a termo. Escrevendo duas vezes:
S = 1 + 2 + 3 + \cdots + (N-1) + N,
S = N + (N-1) + (N-2) + \cdots + 2 + 1.
Agora somamos as duas igualdades membro a membro:
2S = (1+N) + (2+(N-1)) + (3+(N-2)) + \cdots + ((N-1)+2) + (N+1).

Passo 3

Análise dos pares: cada par do lado direito tem soma igual a N+1. Quantos pares existem? Há exatamente N pares (pois cada um dos N termos de uma soma foi emparelhado com um termo da outra). Portanto a soma do lado direito é N vezes (N+1). Logo:
2S = N\,(N+1).

Passo 4

Isolando S obtemos a fórmula fechada:
S = \frac{N\,(N+1)}{2}.
Aqui N é o número de termos (assumimos N inteiro positivo); a fórmula dá o valor da soma em função de N.

Passo 5

Interpretação simples: a média aritmética dos termos 1,2,\dots,N é \dfrac{1+N}{2}. Como há N termos, a soma é
S = N\cdot\frac{1+N}{2} = \frac{N(N+1)}{2},
o mesmo resultado obtido pelo pareamento.

Passo 6

Prova por indução (validação adicional):
  • Base: para N=1, a soma é S=1 e a fórmula dá \dfrac{1\cdot2}{2}=1, ok.
  • Passo indutivo: suponha verdadeira para N=k, ou seja \sum_{i=1}^{k} i = \dfrac{k(k+1)}{2}. Então para N=k+1:
\sum_{i=1}^{k+1} i = \left(\sum_{i=1}^{k} i\right) + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2},
que confirma a fórmula para k+1. Assim vale para todo N\in\mathbb{N}.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para conferir: para N=5,
S = 1+2+3+4+5 = 15,
e a fórmula dá
\frac{5\cdot6}{2}=15,
confere.

Resposta

S=\frac{N(N+1)}{2}

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