Calcule as seguintes somas em função do parâmetro
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
Informações dadas:
- A soma é dos inteiros consecutivos começando em
e indo até . - O resultado deve ser uma expressão em função do parâmetro
.
Passo 2
Ideia principal (método do pareamento): escrevemos a soma na ordem direta e na ordem inversa e somamos termo a termo. Escrevendo duas vezes:
Agora somamos as duas igualdades membro a membro:
Passo 3
Análise dos pares: cada par do lado direito tem soma igual a
. Quantos pares existem? Há exatamente
pares (pois cada um dos
termos de uma soma foi emparelhado com um termo da outra). Portanto a soma do lado direito é
vezes
. Logo:
Passo 4
Isolando
obtemos a fórmula fechada:
Aqui
é o número de termos (assumimos
inteiro positivo); a fórmula dá o valor da soma em função de
.
Passo 5
Interpretação simples: a média aritmética dos termos
é
. Como há
termos, a soma é
o mesmo resultado obtido pelo pareamento.
Passo 6
Prova por indução (validação adicional):
- Base: para
, a soma é e a fórmula dá , ok. - Passo indutivo: suponha verdadeira para
, ou seja . Então para :
que confirma a fórmula para
. Assim vale para todo
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para conferir: para
,
e a fórmula dá
confere.