Descreva as superfícies de nível
para
, sendo
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para descrever as superfícies de nível
para
.
Informações relevantes que já temos:
e os valores de
são
.
As perguntas explícitas são: para cada um desses , qual é a superfície
e como descrevê‑la geometricamente?
Informações relevantes que já temos:
As perguntas explícitas são: para cada um desses
Passo 2
O que significa "superfície de nível
"?
É o conjunto de pontos em
que satisfazem a equação
É o conjunto de pontos
Na prática substituímos
e resolvemos a equação resultante para ver a forma geométrica dessa superfície. Esse procedimento transforma a condição em uma equação entre
que descreve a superfície pedida.
Passo 3
Vamos escrever a equação da superfície de nível explicitamente:
Isolando
(isso facilita a interpretação geométrica), fazemos a manipulação algébrica:
Essa forma
já é muito reveladora:
depende só de
, não depende de
.
Passo 4
Interpretação geométrica geral da equação
:
- Para cada valor fixo de
temos, no plano , a parábola que abre para cima (porque o coeficiente de é positivo). - Como a equação não depende de
, a parábola é extrudida ao longo da direção : a superfície é um cilindro cujo gerador é a parábola no plano . Em terminologia usual, é um cilindro parabólico com eixo paralelo ao eixo . - O vértice da parábola ocorre em
; substituindo em obtemos o vértice em . Assim o conjunto de vértices é a reta .
Passo 5
Agora descrevo caso a caso, calculando a equação explícita e algumas propriedades úteis (vértice, deslocamento vertical, interseção com o plano
quando interessar):
-
Para
: substituindo em obtemos Propriedades: é um cilindro parabólico com vértice na reta. A parábola está deslocada uma unidade para cima em relação a ; portanto e não há pontos com . -
Para
: temos Propriedades: é o cilindro parabólico padrão com vértice na reta. Interseção com ocorre apenas na reta (quando ). -
Para
: temos Propriedades: é um cilindro parabólico deslocado duas unidades para baixo; seu vértice está na reta. Interseção com ocorre quando , isto é ; assim a interseção com o plano são duas retas paralelas .
Um jeito paramétrico unificado, útil para a prova: para cada
a superfície pode ser parametrizada por
mostrando claramente que
é livre e a curva geratriz é a parábola
.
Resposta
Para
:
(cilindro parabólico com vértice na reta
).\n
Para :
(cilindro parabólico com vértice na reta
).\n
Para :
(cilindro parabólico com vértice na reta
).
Para
Para