5(1,0) Descreva as superfícies de nível f=c para c \in\{-1,0,2\}, sendo f(x, y, z)=y^{2}-z

Passo 1

O enunciado dá a função \;f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\; definida por
f(x,y,z)=y^{2}-z
e pede para descrever as superfícies de nível \;f=c\; para \;c\in\{-1,0,2\}.
Informações relevantes que já temos:
\;f(x,y,z)=y^{2}-z\; e os valores de \;c são \;-1,0,2.
As perguntas explícitas são: para cada um desses \;c, qual é a superfície \{(x,y,z):f(x,y,z)=c\} e como descrevê‑la geometricamente?

Passo 2

O que significa "superfície de nível \;f=c"?
É o conjunto de pontos (x,y,z) em \mathbb{R}^3 que satisfazem a equação
f(x,y,z)=c.
Na prática substituímos \;f(x,y,z)=y^{2}-z\; e resolvemos a equação resultante para ver a forma geométrica dessa superfície. Esse procedimento transforma a condição em uma equação entre \;x,y,z\; que descreve a superfície pedida.

Passo 3

Vamos escrever a equação da superfície de nível explicitamente:
y^{2}-z=c.
Isolando \;z\; (isso facilita a interpretação geométrica), fazemos a manipulação algébrica:
y^{2}-z=c \quad\Longrightarrow\quad -z = c - y^{2} \quad\Longrightarrow\quad z = y^{2}-c.
Essa forma \;z=y^{2}-c\; já é muito reveladora: \;z\; depende só de \;y\;, não depende de \;x\;.

Passo 4

Interpretação geométrica geral da equação \;z=y^{2}-c\;:
  • Para cada valor fixo de \;x temos, no plano (y,z), a parábola \;z=y^{2}-c\; que abre para cima (porque o coeficiente de y^{2} é positivo).
  • Como a equação não depende de \;x, a parábola é extrudida ao longo da direção x: a superfície é um cilindro cujo gerador é a parábola no plano yz. Em terminologia usual, é um cilindro parabólico com eixo paralelo ao eixo x.
  • O vértice da parábola ocorre em y=0; substituindo em \;z=y^{2}-c\; obtemos o vértice em \;z=-c. Assim o conjunto de vértices é a reta \{(x,0,-c):x\in\mathbb{R}\}.

Passo 5

Agora descrevo caso a caso, calculando a equação explícita e algumas propriedades úteis (vértice, deslocamento vertical, interseção com o plano z=0 quando interessar):
  • Para \;c=-1: substituindo em \;z=y^{2}-c\; obtemos
    z = y^{2} - (-1) = y^{2}+1.
    Propriedades: é um cilindro parabólico com vértice na reta \{(x,0,1):x\in\mathbb{R}\}. A parábola está deslocada uma unidade para cima em relação a \;z=y^{2}; portanto \;z\ge 1 e não há pontos com z=0.
  • Para \;c=0: temos
    z = y^{2}.
    Propriedades: é o cilindro parabólico padrão com vértice na reta \{(x,0,0):x\in\mathbb{R}\}. Interseção com z=0 ocorre apenas na reta \{(x,0,0):x\in\mathbb{R}\} (quando y=0).
  • Para \;c=2: temos
    z = y^{2}-2.
    Propriedades: é um cilindro parabólico deslocado duas unidades para baixo; seu vértice está na reta \{(x,0,-2):x\in\mathbb{R}\}. Interseção com z=0 ocorre quando y^{2}=2, isto é y=\pm\sqrt{2}; assim a interseção com o plano z=0 são duas retas paralelas \{(x,\pm\sqrt{2},0):x\in\mathbb{R}\}.
Um jeito paramétrico unificado, útil para a prova: para cada c a superfície pode ser parametrizada por
(x,y)\mapsto (x,\;y,\;y^{2}-c),\qquad x,y\in\mathbb{R},
mostrando claramente que x é livre e a curva geratriz é a parábola z=y^{2}-c.

Resposta

Para \;c=-1: \;z = y^{2}+1 (cilindro parabólico com vértice na reta \{(x,0,1):x\in\mathbb{R}\}).\n
Para \;c=0: \;z = y^{2} (cilindro parabólico com vértice na reta \{(x,0,0):x\in\mathbb{R}\}).\n
Para \;c=2: \;z = y^{2}-2 (cilindro parabólico com vértice na reta \{(x,0,-2):x\in\mathbb{R}\}).

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