Adriano observou curante uma hora um caramujo percorrer uma trajetória espiral dada pela curva
, com
representando as horas. Ajude Adriano a encontrar a distancia (em metros) percorida pelo caramujo durante esta hora observada.
Passo 1
O enunciado dá a trajetória do caramujo como a curva parametrizada
onde
representa o tempo em horas. Adriano observou o caramujo durante uma hora. Portanto vamos calcular a distância percorrida por
no intervalo de tempo de uma hora. Como o enunciado não diz a hora inicial, a escolha natural (e padrão) é tomar essa hora como o intervalo
— ou seja, de
até
.
O que se pede: a distância (em metros) percorrida pelo caramujo durante esse intervalo .
O que se pede: a distância (em metros) percorrida pelo caramujo durante esse intervalo
Passo 2
Fórmula que vamos usar (e por que): para uma curva plana parametrizada por
, a velocidade instantânea (módulo da velocidade) é
A distância percorrida entre
e
é a integral do módulo da velocidade:
Explicando com calma:
é a derivada de
em relação a
(a componente horizontal da velocidade) e
é a derivada de
(componente vertical). A raiz quadrada combina essas duas componentes para dar a velocidade escalar. Integrando a velocidade ao longo do tempo obtemos a distância total.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de cada componente de
. Para
aplicamos a regra do produto:
. Logo
Para
temos
. Logo
Passo 4
Agora formamos
. Substituindo os resultados:
Desenvolvendo os quadrados:
Somando as duas expressões os termos com
cancelam e ficamos com
pois
. Portanto
A velocidade (módulo) é a raiz positiva disso:
já que
para todo
.
Passo 5
Finalmente aplicamos a fórmula do comprimento no intervalo
:
Como a primitiva de
é
, obtemos
Esse valor está em unidades de comprimento; como as coordenadas estão dadas em metros, a distância percorrida é em metros. Força aí — conseguimos!