1(1,0) Adriano observou curante uma hora um caramujo percorrer uma trajetória espiral dada pela curva \gamma(t)=\left(e^{t} \cos (t), e^{t} \operatorname{sen}(t)\right), com t representando as horas. Ajude Adriano a encontrar a distancia (em metros) percorida pelo caramujo durante esta hora observada.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória do caramujo como a curva parametrizada
\gamma(t)=\big(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t\big),
onde t representa o tempo em horas. Adriano observou o caramujo durante uma hora. Portanto vamos calcular a distância percorrida por \gamma(t) no intervalo de tempo de uma hora. Como o enunciado não diz a hora inicial, a escolha natural (e padrão) é tomar essa hora como o intervalo [0,1] — ou seja, de t=0 até t=1.
O que se pede: a distância (em metros) percorrida pelo caramujo durante esse intervalo [0,1].

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e por que): para uma curva plana parametrizada por \gamma(t)=(x(t),y(t)), a velocidade instantânea (módulo da velocidade) é
\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}.
A distância percorrida entre t=a e t=b é a integral do módulo da velocidade:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}\,dt.
Explicando com calma: x'(t) é a derivada de x(t) em relação a t (a componente horizontal da velocidade) e y'(t) é a derivada de y(t) (componente vertical). A raiz quadrada combina essas duas componentes para dar a velocidade escalar. Integrando a velocidade ao longo do tempo obtemos a distância total.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de cada componente de \gamma(t). Para
x(t)=e^{t}\cos t
aplicamos a regra do produto: (e^{t}\cos t)'=e^{t}\cos t + e^{t}(-\sin t)=e^{t}(\cos t-\sin t). Logo
x'(t)=e^{t}(\cos t-\sin t).
Para
y(t)=e^{t}\sin t
temos (e^{t}\sin t)'=e^{t}\sin t + e^{t}\cos t=e^{t}(\sin t+\cos t). Logo
y'(t)=e^{t}(\sin t+\cos t).

Passo 4

Agora formamos (x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}. Substituindo os resultados:
(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}=e^{2t}\big((\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}\big).
Desenvolvendo os quadrados:
(\cos t-\sin t)^{2}=\cos^{2}t-2\sin t\cos t+\sin^{2}t,
(\sin t+\cos t)^{2}=\sin^{2}t+2\sin t\cos t+\cos^{2}t.
Somando as duas expressões os termos com 2\sin t\cos t cancelam e ficamos com
(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}=2(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=2\cdot 1=2,
pois \cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Portanto
(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}=e^{2t}\cdot 2=2e^{2t}.
A velocidade (módulo) é a raiz positiva disso:
\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}=\sqrt{2e^{2t}}=\sqrt{2}\,e^{t},
já que e^{t}>0 para todo t.

Passo 5

Finalmente aplicamos a fórmula do comprimento no intervalo [0,1]:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{2}\,e^{t}\,dt=\sqrt{2}\int_{0}^{1}e^{t}\,dt.
Como a primitiva de e^{t} é e^{t}, obtemos
L=\sqrt{2}\big[e^{t}\big]_{0}^{1}=\sqrt{2}\big(e^{1}-e^{0}\big)=\sqrt{2}\,(e-1).
Esse valor está em unidades de comprimento; como as coordenadas estão dadas em metros, a distância percorrida é em metros. Força aí — conseguimos!

Resposta

\sqrt{2}\,(e-1) metros

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