Pari cada uma daj curvas
abaixo esboçe seu traço, calcule a derivada em
e a equação da reta tangente em
.
e
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
com
e pede três coisas em
:
- esboçar o traço da curva;
- calcular a derivada
; - obter a equação da reta tangente em
.
Informações dadas que vamos usar: a componentee a componente . Nada mais é pedido.
Passo 2
O que significa derivar uma curva paramétrica e como fazer na prática.
Se , a derivada
é o vetor com as derivadas das componentes:
Se
Esse vetor representa a velocidade da partícula que percorre a curva — ele aponta na direção da tangente e indica a orientação.
Aqui
e
. Derivando componente a componente:
Logo, de forma geral,
Passo 3
Agora avaliamos a derivada em
. Substituímos
em
:
Como
, obtemos
Interpretação: no ponto correspondente, o vetor tangente tem direção para a esquerda e para cima (um passo em
negativo acompanha um passo igual em
positivo).
Passo 4
Determinar o ponto da curva em
. Calculamos
:
Portanto a reta tangente passa por
e tem direção dada por
.
Passo 5
Como escrever a reta tangente. Duas formas úteis:
Forma paramétrica (ponto + vetor diretor). Seja parâmetro
ao longo da reta, então
Isto é,
Forma cartesiana (equação
). Como
em
é
, a inclinação da reta é
Usando a forma ponto-inclinação
com
:
ou seja
Passo 6
Esboço do traço (como desenhar rápido na prova). Observações úteis e bem práticas:
- Como
, podemos reescrever a curva como com . Ou seja, é o gráfico de visto “de lado”: abscissa igual ao cosseno do valor vertical . - Pontos chave (usar no esboço):
, , . - Em
a função decresce de a , logo o traço vai de para passando por , sem ondulações adicionais. - No ponto
desenhe o vetor tangente e então a reta para representar a tangente.
Você consegue fazer um esboço rápido marcando esses três pontos e ligando-os suavemente com a curva que tem essa inclinação negativa no meio — força aí, faz um risco e você já vê que bate com a equação da reta que achamos.
Resposta
Traço: curva dada por
,
; passa por
,
,
.
.
Reta tangente: forma paramétrica e forma cartesiana
.
Reta tangente: forma paramétrica