Pari cada uma daj curvas \gamma(t) abaixo esboçe seu traço, calcule a derivada em t_{0} e a equação da reta tangente em t_{0}.
\gamma(t)=(\cos (t), t), \operatorname{com} t \in[0, \pi] e t_{0}=\frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \gamma(t)=(\cos t,\,t) com t\in[0,\pi] e pede três coisas em t_{0}=\frac{\pi}{2}:
  1. esboçar o traço da curva;
  2. calcular a derivada \gamma'(t_{0});
  3. obter a equação da reta tangente em t_{0}.
    Informações dadas que vamos usar: a componente x(t)=\cos t e a componente y(t)=t. Nada mais é pedido.

Passo 2

O que significa derivar uma curva paramétrica e como fazer na prática.
Se \gamma(t)=(x(t),y(t)), a derivada \gamma'(t) é o vetor com as derivadas das componentes:
\gamma'(t)=(x'(t),\,y'(t)).
Esse vetor representa a velocidade da partícula que percorre a curva — ele aponta na direção da tangente e indica a orientação.
Aqui x(t)=\cos t e y(t)=t. Derivando componente a componente:
x'(t)=\frac{d}{dt}\cos t = -\sin t,
y'(t)=\frac{d}{dt}t = 1.
Logo, de forma geral,
\gamma'(t)=(-\sin t,\,1).

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em t_{0}=\frac{\pi}{2}. Substituímos t=\frac{\pi}{2} em \gamma'(t):
\gamma'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\bigl(-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right),\,1\bigr).
Como \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, obtemos
\gamma'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=(-1,\,1).
Interpretação: no ponto correspondente, o vetor tangente tem direção para a esquerda e para cima (um passo em x negativo acompanha um passo igual em y positivo).

Passo 4

Determinar o ponto da curva em t_{0}. Calculamos \gamma\!\left(\frac{\pi}{2}\right):
\gamma\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\bigl(\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right),\,\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(0,\,\tfrac{\pi}{2}).
Portanto a reta tangente passa por (0,\tfrac{\pi}{2}) e tem direção dada por (-1,1).

Passo 5

Como escrever a reta tangente. Duas formas úteis:
Forma paramétrica (ponto + vetor diretor). Seja parâmetro s ao longo da reta, então
\ell(s)=(x(s),y(s))=(0,\,\tfrac{\pi}{2})+s(-1,\,1).
Isto é,
x(s)=-s,\qquad y(s)=\tfrac{\pi}{2}+s.
Forma cartesiana (equação y=mx+b). Como dx/dt em t_{0} é -1\neq0, a inclinação da reta é
m=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{1}{-1}=-1.
Usando a forma ponto-inclinação y-y_{0}=m(x-x_{0}) com (x_{0},y_{0})=(0,\tfrac{\pi}{2}):
y-\tfrac{\pi}{2}=-1(x-0),
ou seja
y=\tfrac{\pi}{2}-x.

Passo 6

Esboço do traço (como desenhar rápido na prova). Observações úteis e bem práticas:
  • Como y=t, podemos reescrever a curva como x=\cos y com y\in[0,\pi]. Ou seja, é o gráfico de \cos visto “de lado”: abscissa x igual ao cosseno do valor vertical y.
  • Pontos chave (usar no esboço): t=0\Rightarrow(1,0), t=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow(0,\tfrac{\pi}{2}), t=\pi\Rightarrow(-1,\pi).
  • Em [0,\pi] a função \cos t decresce de 1 a -1, logo o traço vai de (1,0) para (-1,\pi) passando por (0,\tfrac{\pi}{2}), sem ondulações adicionais.
  • No ponto (0,\tfrac{\pi}{2}) desenhe o vetor tangente (-1,1) e então a reta y=\tfrac{\pi}{2}-x para representar a tangente.
Você consegue fazer um esboço rápido marcando esses três pontos e ligando-os suavemente com a curva que tem essa inclinação negativa no meio — força aí, faz um risco e você já vê que bate com a equação da reta que achamos.

Resposta

Traço: curva dada por x=\cos y, y\in[0,\pi]; passa por (1,0), (0,\tfrac{\pi}{2}), (-1,\pi).
\gamma'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=(-1,\,1).
Reta tangente: forma paramétrica (x,y)=(0,\tfrac{\pi}{2})+s(-1,1) e forma cartesiana y=\tfrac{\pi}{2}-x.

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