O enunciado pede: para cada uma das matrizes dadas, que representam por linhas um sistema linear homogêneo (isto é, cada linha é uma equação do tipo \text{(linhas)}\cdot x = 0), descrever todas as soluções na forma vetorial paramétrica. Vou listar claramente as equações (pegando-as das matrizes fornecidas) e o que é pedido para cada item.
(a) Matrizes/linhas dadas (peguei da matriz):
Primeira linha: x_{1}+3x_{2}-3x_{3}+7x_{4}=0.
Segunda linha: x_{2}-4x_{3}+5x_{4}=0.
Pedido: escrever todas as soluções de (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) na forma vetorial paramétrica.
(b) (peguei da matriz)
Primeira linha: x_{1}-2x_{2}-9x_{3}+5x_{4}=0.
Segunda linha: x_{2}+2x_{3}-6x_{4}=0.
Pedido: todas as soluções em forma vetorial paramétrica.
(c) (peguei da matriz)
Primeira linha: 3x_{1}-9x_{2}+6x_{3}=0.
Segunda linha: -x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=0.
Pedido: todas as soluções em forma vetorial paramétrica.
(d) (peguei da matriz)
Primeira linha: x_{1}+3x_{2}-4x_{4}=0 (coluna x_{3} é zero nesta linha).
Segunda linha: 2x_{1}+6x_{2}-8x_{4}=0.
Pedido: todas as soluções em forma vetorial paramétrica.
(e) (peguei da matriz; variáveis x_{1},\dots,x_{6})
Linha 1: x_{1}-4x_{2}-2x_{3}+0x_{4}+3x_{5}-5x_{6}=0.
Linha 2: x_{3}-x_{6}=0.
Linha 3: x_{5}-4x_{6}=0.
Linha 4: 0=0.
Pedido: todas as soluções em forma vetorial paramétrica.
(f) (peguei da matriz; variáveis x_{1},\dots,x_{6})
Linha 1: x_{1}+5x_{2}+2x_{3}-6x_{4}+9x_{5}+0x_{6}=0.
Linha 2: x_{3}-7x_{4}+4x_{5}-8x_{6}=0.
Linha 3: x_{6}=0.
Linha 4: 0=0.
Pedido: todas as soluções em forma vetorial paramétrica.
Passo 2
Estratégia geral (como transformar a forma por linhas em solução paramétrica). Vou explicar didaticamente — passo a passo — como resolver qualquer um desses sistemas, para você aplicar na prova.
Cada linha da matriz dá uma equação linear homogênea do tipo
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=0.
Essas equações juntas formam o sistema A x = 0.
Pivôs e variáveis livres:
Uma coluna que contém o primeiro coeficiente não nulo de uma linha é chamada de coluna pivô (ou variável básica nessa posição). As variáveis correspondentes a colunas que não são pivôs são chamadas de variáveis livres.
Em um sistema homogêneo, cada variável livre pode ser escolhida como parâmetro (por exemplo s,t,\ldots). Depois substitui-se esses parâmetros nas equações para obter as variáveis pivô em função deles.
Forma vetorial paramétrica:
Suponha que os parâmetros livres sejam s,t,\dots. Então a solução tem a formax = s v + t w + \cdots,onde v,w,\dots são vetores coluna que aparecem quando colocamos cada parâmetro igual a 1 e os outros parâmetros igual a 0.
Dicas práticas:
Identificar quais colunas têm pivô olhando as linhas (se a matriz já está em forma escalonada por linhas).
Declarar variáveis livres com parâmetros simples (s,t,u etc.).
Resolver de trás para frente: primeiras equações que envolvem pivôs mais à direita expressam pivôs em função das variáveis livres; siga substituindo até expressar todas as variáveis pivô.
Reescrever o vetor solução como combinação linear dos vetores associados aos parâmetros.
Agora aplico esse procedimento para cada item, mostrando os passos algébricos com calma.
Observação: a segunda linha é -\tfrac{1}{3} da primeira, ou a primeira é -3 vezes a segunda; as duas equações são dependentes. Logo o sistema efetivamente tem só uma equação independente; posso simplificá-la dividindo a primeira por 3:
x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=0.
Aqui pivô é a coluna 1 (x_{1}); variáveis livres são x_{2},x_{3}.
Defino parâmetros:
Equações (peguei-as da matriz; notei que coluna x_{3}\) é zero em ambas as linhas):
\[\begin{cases} x_{1}+3x_{2}-4x_{4}=0,\\[4pt] 2x_{1}+6x_{2}-8x_{4}=0. \end{cases}
Observação: a segunda linha é exatamente (2] vezes a primeira, então há apenas uma equação independente: x_{1}+3x_{2}-4x_{4}=0.