Descreva todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos na forma vetorial paramétrica, onde a matriz de coeficientes é equivalente por linhas à matriz dada.
(a) \left(\begin{array}{llll}1 & 3 & -3 & 7 \\\\ 0 & 1 & -4 & 5\end{array}\right)
(b) \left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & -9 & 5 \\\\ 0 & 1 & 2 & -6\end{array}\right)
(c) \left(\begin{array}{ccc}3 & -9 & 6 \\\\ -1 & 3 & -2\end{array}\right)
(d) \left(\begin{array}{llll}1 & 3 & 0 & -4 \\\\ 2 & 6 & 0 & -8\end{array}\right)
(e) \left(\begin{array}{cccccc}1 & -4 & -2 & 0 & 3 & -5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)
(f) \left(\begin{array}{cccccc}1 & 5 & 2 & -6 & 9 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -7 & 4 & -8 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: para cada uma das matrizes dadas, que representam por linhas um sistema linear homogêneo (isto é, cada linha é uma equação do tipo \text{(linhas)}\cdot x = 0), descrever todas as soluções na forma vetorial paramétrica. Vou listar claramente as equações (pegando-as das matrizes fornecidas) e o que é pedido para cada item.
(a) Matrizes/linhas dadas (peguei da matriz):
  • Primeira linha: x_{1}+3x_{2}-3x_{3}+7x_{4}=0.
  • Segunda linha: x_{2}-4x_{3}+5x_{4}=0.
    Pedido: escrever todas as soluções de (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) na forma vetorial paramétrica.
(b) (peguei da matriz)
  • Primeira linha: x_{1}-2x_{2}-9x_{3}+5x_{4}=0.
  • Segunda linha: x_{2}+2x_{3}-6x_{4}=0.
    Pedido: todas as soluções em forma vetorial paramétrica.
(c) (peguei da matriz)
  • Primeira linha: 3x_{1}-9x_{2}+6x_{3}=0.
  • Segunda linha: -x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=0.
    Pedido: todas as soluções em forma vetorial paramétrica.
(d) (peguei da matriz)
  • Primeira linha: x_{1}+3x_{2}-4x_{4}=0 (coluna x_{3} é zero nesta linha).
  • Segunda linha: 2x_{1}+6x_{2}-8x_{4}=0.
    Pedido: todas as soluções em forma vetorial paramétrica.
(e) (peguei da matriz; variáveis x_{1},\dots,x_{6})
  • Linha 1: x_{1}-4x_{2}-2x_{3}+0x_{4}+3x_{5}-5x_{6}=0.
  • Linha 2: x_{3}-x_{6}=0.
  • Linha 3: x_{5}-4x_{6}=0.
  • Linha 4: 0=0.
    Pedido: todas as soluções em forma vetorial paramétrica.
(f) (peguei da matriz; variáveis x_{1},\dots,x_{6})
  • Linha 1: x_{1}+5x_{2}+2x_{3}-6x_{4}+9x_{5}+0x_{6}=0.
  • Linha 2: x_{3}-7x_{4}+4x_{5}-8x_{6}=0.
  • Linha 3: x_{6}=0.
  • Linha 4: 0=0.
    Pedido: todas as soluções em forma vetorial paramétrica.

Passo 2

Estratégia geral (como transformar a forma por linhas em solução paramétrica). Vou explicar didaticamente — passo a passo — como resolver qualquer um desses sistemas, para você aplicar na prova.
  • Cada linha da matriz dá uma equação linear homogênea do tipo
    a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=0.
    Essas equações juntas formam o sistema A x = 0.
  • Pivôs e variáveis livres:
    • Uma coluna que contém o primeiro coeficiente não nulo de uma linha é chamada de coluna pivô (ou variável básica nessa posição). As variáveis correspondentes a colunas que não são pivôs são chamadas de variáveis livres.
    • Em um sistema homogêneo, cada variável livre pode ser escolhida como parâmetro (por exemplo s,t,\ldots). Depois substitui-se esses parâmetros nas equações para obter as variáveis pivô em função deles.
  • Forma vetorial paramétrica:
    • Suponha que os parâmetros livres sejam s,t,\dots. Então a solução tem a forma x = s v + t w + \cdots,onde v,w,\dots são vetores coluna que aparecem quando colocamos cada parâmetro igual a 1 e os outros parâmetros igual a 0.
  • Dicas práticas:
    1. Identificar quais colunas têm pivô olhando as linhas (se a matriz já está em forma escalonada por linhas).
    2. Declarar variáveis livres com parâmetros simples ( s,t,u etc.).
    3. Resolver de trás para frente: primeiras equações que envolvem pivôs mais à direita expressam pivôs em função das variáveis livres; siga substituindo até expressar todas as variáveis pivô.
    4. Reescrever o vetor solução como combinação linear dos vetores associados aos parâmetros.
Agora aplico esse procedimento para cada item, mostrando os passos algébricos com calma.

Passo 3

(a) Resolver passo a passo.
  • Escrevo as duas equações (peguei-as da matriz):
    \begin{cases} x_{1}+3x_{2}-3x_{3}+7x_{4}=0,\\[4pt] x_{2}-4x_{3}+5x_{4}=0. \end{cases}
  • Identifico pivôs: coluna 1 (para x_{1}) e coluna 2 (para x_{2}). Assim x_{3} e x_{4} são variáveis livres.
    Defino parâmetros:
    x_{3}=s,\qquad x_{4}=t.
  • Usar a segunda equação para achar x_{2}:
    x_{2}-4x_{3}+5x_{4}=0\quad\Rightarrow\quad x_{2}=4x_{3}-5x_{4}=4s-5t.
  • Usar a primeira equação para achar x_{1}:
    x_{1}+3x_{2}-3x_{3}+7x_{4}=0
    então
    x_{1}=-3x_{2}+3x_{3}-7x_{4}.
    Substituindo x_{2}=4s-5t e x_{3}=s,x_{4}=t:
    x_{1}=-3(4s-5t)+3s-7t=-12s+15t+3s-7t=-9s+8t.
  • Assim o vetor solução é
    x=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-9s+8t\\[4pt]4s-5t\\[4pt]s\\[4pt]t\end{pmatrix} =s\begin{pmatrix}-9\\[4pt]4\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}8\\[4pt]-5\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},
    com s,t\in\mathbb{R}.]

Passo 4

(b) Resolver passo a passo.
  • Equações (peguei-as da matriz):
    \begin{cases} x_{1}-2x_{2}-9x_{3}+5x_{4}=0,\\[4pt] x_{2}+2x_{3}-6x_{4}=0. \end{cases}
  • Pivôs: coluna 1 ( x_{1}) e coluna 2 ( x_{2}). Variáveis livres: x_{3},x_{4}.
    Defino parâmetros:
    x_{3}=s,\qquad x_{4}=t.
  • Segunda equação dá x_{2}:
    x_{2}=-2x_{3}+6x_{4}=-2s+6t.
  • Primeira equação dá x_{1}:
    x_{1}=2x_{2}+9x_{3}-5x_{4}.
    Substituindo x_{2}=-2s+6t:
    x_{1}=2(-2s+6t)+9s-5t=-4s+12t+9s-5t=5s+7t.
  • Solução vetorial:
    x=\begin{pmatrix}5s+7t\\[4pt]-2s+6t\\[4pt]s\\[4pt]t\end{pmatrix} =s\begin{pmatrix}5\\[4pt]-2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}7\\[4pt]6\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},
    com s,t\in\mathbb{R}.]

Passo 5

(c) Resolver passo a passo.
  • Equações (peguei-as da matriz):
    \begin{cases} 3x_{1}-9x_{2}+6x_{3}=0,\\[4pt] -x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=0. \end{cases}
  • Observação: a segunda linha é -\tfrac{1}{3} da primeira, ou a primeira é -3 vezes a segunda; as duas equações são dependentes. Logo o sistema efetivamente tem só uma equação independente; posso simplificá-la dividindo a primeira por 3:
    x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=0.
  • Aqui pivô é a coluna 1 ( x_{1}); variáveis livres são x_{2},x_{3}.
    Defino parâmetros:
    x_{2}=s,\qquad x_{3}=t.
  • Da equação simplificada:
    x_{1}=3x_{2}-2x_{3}=3s-2t.
  • Solução vetorial:
    x=\begin{pmatrix}3s-2t\\[4pt]s\\[4pt]t\end{pmatrix} =s\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},
    com s,t\in\mathbb{R}.]

Passo 6

(d) Resolver passo a passo.
  • Equações (peguei-as da matriz; notei que coluna x_{3}\) é zero em ambas as linhas): \[\begin{cases} x_{1}+3x_{2}-4x_{4}=0,\\[4pt] 2x_{1}+6x_{2}-8x_{4}=0. \end{cases}
  • Observação: a segunda linha é exatamente (2] vezes a primeira, então há apenas uma equação independente:
    x_{1}+3x_{2}-4x_{4}=0.
  • Pivô: coluna 1 ( x_{1}). Variáveis livres: x_{2},x_{3},x_{4}.
    Defino parâmetros:
    x_{2}=s,\qquad x_{3}=t,\qquad x_{4}=u.
  • Da única equação:
    x_{1}=-3x_{2}+4x_{4}=-3s+4u.
  • Solução vetorial:
    x=\begin{pmatrix}-3s+4u\\[4pt]s\\[4pt]t\\[4pt]u\end{pmatrix} =s\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} +u\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},
    com s,t,u\in\mathbb{R}.]

Passo 7

(e) Resolver passo a passo.
  • Equações (peguei-as da matriz):
    \begin{cases} x_{1}-4x_{2}-2x_{3}+3x_{5}-5x_{6}=0,\\[4pt] x_{3}-x_{6}=0,\\[4pt] x_{5}-4x_{6}=0,\\[4pt] 0=0. \end{cases}
  • Das equações 2 e 3 obtemos diretamente relações entre variáveis:
    x_{3}=x_{6},\qquad x_{5}=4x_{6}.
    Assim colunas pivô claramente: x_{1} (linha 1), x_{3} (linha 2), x_{5} (linha 3). Variáveis livres: x_{2},x_{4},x_{6}.
    Defino parâmetros:
    x_{2}=s,\qquad x_{4}=t,\qquad x_{6}=u.
  • Substituo x_{3}=u e x_{5}=4u na primeira equação:
    x_{1}-4s-2u+3(4u)-5u=0.
    Calculo o termo em u: -2u+12u-5u=5u. Logo
    x_{1}-4s+5u=0\quad\Rightarrow\quad x_{1}=4s-5u.
  • Reúno tudo:
    x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\\[4pt]x_{5}\\[4pt]x_{6}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4s-5u\\[4pt]s\\[4pt]u\\[4pt]t\\[4pt]4u\\[4pt]u\end{pmatrix} =s\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} +u\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix},
    com s,t,u\in\mathbb{R}.]

Passo 8

(f) Resolver passo a passo.
  • Equações (peguei-as da matriz):
    \begin{cases} x_{1}+5x_{2}+2x_{3}-6x_{4}+9x_{5}=0,\\[4pt] x_{3}-7x_{4}+4x_{5}-8x_{6}=0,\\[4pt] x_{6}=0,\\[4pt] 0=0. \end{cases}
  • Da terceira equação temos uma informação direta:
    x_{6}=0.
    Substituindo em (2) obtemos x_{3}=7x_{4}-4x_{5}. Assim colunas pivô: x_{1},x_{3},x_{6}. Variáveis livres: x_{2},x_{4},x_{5}.
    Defino parâmetros:
    x_{2}=s,\qquad x_{4}=t,\qquad x_{5}=u.
    E já fixei x_{6}=0.
  • Usando a segunda equação:
    x_{3}=7t-4u+8\cdot 0=7t-4u.
  • Usando a primeira equação para x_{1}:
    x_{1}=-5x_{2}-2x_{3}+6x_{4}-9x_{5}.
    Substituindo x_{2}=s, x_{3}=7t-4u, x_{4}=t, x_{5}=u:
    x_{1}=-5s-2(7t-4u)+6t-9u=-5s-14t+8u+6t-9u=-5s-8t-u.
  • Reúno tudo:
    x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\\[4pt]x_{5}\\[4pt]x_{6}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-5s-8t-u\\[4pt]s\\[4pt]7t-4u\\[4pt]t\\[4pt]u\\[4pt]0\end{pmatrix} =s\begin{pmatrix}-5\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-8\\[4pt]0\\[4pt]7\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} +u\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]-4\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},
    com s,t,u\in\mathbb{R}.]

Resposta

(a) \displaystyle x=s\begin{pmatrix}-9\\[4pt]4\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}8\\[4pt]-5\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad s,t\in\mathbb{R}.
(b) \displaystyle x=s\begin{pmatrix}5\\[4pt]-2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}7\\[4pt]6\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad s,t\in\mathbb{R}.
(c) \displaystyle x=s\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad s,t\in\mathbb{R}.
(d) \displaystyle x=s\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad s,t,u\in\mathbb{R}.
(e) \displaystyle x=s\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad s,t,u\in\mathbb{R}.
(f) \displaystyle x=s\begin{pmatrix}-5\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-8\\[4pt]0\\[4pt]7\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]-4\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad s,t,u\in\mathbb{R}.]

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