Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
  1. Se uma matriz B é obtida de outra matriz A por meio de operações elementares de linha, então A pode ser obtida de B por meio de operações elementares de linha.
  2. Cada matriz é equivalente por linhas a uma única matriz na forma escalonada.
  3. Multiplicar todos os elementos de uma linha por uma constante é uma operação elementar de linha.
  4. Se as matrizes aumentadas de dois sistemas de equações são equivalentes por linhas, então ambos os sistemas têm o mesmo conjunto solução.
  5. Qualquer sistema com n equações lineares e n incógnitas tem no máximo n soluções.
  6. Se um sistema de equações lineares possui duas soluções diferentes, então ele possui infinitas soluções.
  7. Se um sistema de equações lineares não possui variáveis livres, então ele possui uma solução única.
  8. Um sistema sobredeterminado não pode ter uma solução única.
  9. Um sistema subdeterminado não pode ter uma solução única.
  10. Se todas as colunas da matriz de coeficientes de um sistema consistente são colunas pivô, então o sistema tem uma solução única.
  11. Um sistema de equações lineares tem infinitas soluções se, e somente se, pelo menos uma coluna da matriz de coeficientes não contém uma posição pivô.
  12. Um sistema consistente de equações lineares tem infinitas soluções se, e somente se, pelo menos uma coluna da matriz de coeficientes não contém uma posição pivô.
  13. Um sistema inconsistente de equações lineares às vezes tem uma solução única.
  14. Uma matriz 5 \times 7 não pode ter uma posição pivô em cada linha.
  15. Uma matriz 6 \times 5 não pode ter uma posição pivô em cada linha.

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se cada uma das 15 afirmações é verdadeira ou falsa. Vou enumerar claramente as 15 afirmações (sem resolver ainda) para não nos perder:
  1. Se uma matriz B é obtida de A por operações elementares de linha, então A pode ser obtida de B por operações elementares de linha.
  2. Cada matriz é equivalente por linhas a uma única matriz na forma escalonada.
  3. Multiplicar todos os elementos de uma linha por uma constante é uma operação elementar de linha.
  4. Se as matrizes aumentadas de dois sistemas de equações são equivalentes por linhas, então ambos os sistemas têm o mesmo conjunto solução.
  5. Qualquer sistema com n equações lineares e n incógnitas tem no máximo n soluções.
  6. Se um sistema de equações lineares possui duas soluções diferentes, então ele possui infinitas soluções.
  7. Se um sistema de equações lineares não possui variáveis livres, então ele possui uma solução única.
  8. Um sistema sobredeterminado não pode ter uma solução única.
  9. Um sistema subdeterminado não pode ter uma solução única.
  10. Se todas as colunas da matriz de coeficientes de um sistema são colunas pivô, então o sistema tem uma solução única.
  11. Um sistema de equações lineares tem infinitas soluções se, e somente se, pelo menos uma coluna da matriz de coeficientes não contém uma posição pivô.
  12. Um sistema consistente de equações lineares tem infinitas soluções se, e somente se, pelo menos uma coluna da matriz de coeficientes não contém uma posição pivô.
  13. Um sistema inconsistente de equações lineares às vezes tem uma solução única.
  14. Uma matriz 5\times7 não pode ter uma posição pivô em cada linha.
  15. Uma matriz 6\times5 não pode ter uma posição pivô em cada linha.

Passo 2

Conceitos básicos que vou usar (lembrete rápido, em linguagem simples e sem pular etapas):
  • Operações elementares de linha (as três usuais):
    (i) trocar duas linhas;
    (ii) multiplicar uma linha por uma constante não nula;
    (iii) adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Cada uma tem uma operação inversa do mesmo tipo (por exemplo, multiplicar por \lambda é invertido por multiplicar por \lambda^{-1} se \lambda\neq0).
  • “Equivalência por linhas” significa que existe sequência finita de operações elementares que transforma uma matriz na outra. Essas operações são todas invertíveis.
  • “Forma escalonada” (row echelon form) é uma matriz com os zeros à esquerda nas linhas não-nulas e cada pivô aparecendo à direita do pivô da linha acima; a forma escalonada reduzida (RREF) é uma forma escalonada com pivôs iguais a 1 e zeros em suas colunas. Importante: RREF é única para uma matriz dada; forma escalonada (não reduzida) não é necessariamente única.
  • Pivô: posição líder de uma linha não-nula quando se reduz por linhas; número de pivôs = posto (rank) = \mathrm{rank}(A).
  • Variáveis livres: colunas de incógnitas que não contêm pivô na redução; se existir ao menos uma variável livre e o sistema for consistente, o conjunto solução tem infinitas soluções.

Passo 3

Afirmação 1: “Se B é obtida de A por operações elementares de linha, então A pode ser obtida de B por operações elementares de linha.”
Explicação passo a passo: cada operação elementar tem uma operação inversa que também é elementar. Exemplos: trocar R_i com R_j é invertido trocando novamente; multiplicar uma linha por \lambda\neq0 é invertido multiplicando por \lambda^{-1}; adicionar \lambda vezes R_j a R_i é invertido adicionando -\lambda vezes R_j a R_i. Logo, qualquer sequência que leva A a B tem uma sequência inversa que leva B de volta a A. Conclusão: a afirmação 1 é verdadeira.

Passo 4

Afirmação 2: “Cada matriz é equivalente por linhas a uma única matriz na forma escalonada.”
Explicação: a forma escalonada (não reduzida) não é única porque após obter uma forma escalonada é possível multiplicar linhas não-nulas por constantes não-nulas ou somar múltiplos de linhas superiores mantendo a estrutura escalonada e obter outra forma escalonada diferente. Exemplo concreto: a matriz
A=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}
pode ser reduzida por linhas para
\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},
mas também se eu multiplicar a primeira linha por 2 (operação permitida enquanto ainda mantiver a estrutura escalonada) obtenho
\begin{pmatrix}2&2\\\ 0&0\end{pmatrix},
outras formas escalonadas válidas. Por outro lado, a forma escalonada reduzida (RREF) é única, mas a enunciada refere-se apenas à “forma escalonada”. Portanto, a afirmação 2 é falsa.

Passo 5

Afirmação 3: “Multiplicar todos os elementos de uma linha por uma constante é uma operação elementar de linha.”
A definição padrão exige que a constante seja não nula. Multiplicar por 0 não é permitido como operação elementar (isso transformaria a linha em zero e não teria inversa). O enunciado não especifica “não nula”, então, estritamente falando, está incompleto/incorrecto. Interpretando literalmente (qualquer constante, inclusive 0), a afirmação é falsa. Se o autor tivesse escrito “multiplicar por uma constante não nula”, aí seria verdadeira. Conclusão: tal como escrita, a afirmação 3 é falsa (por causa do caso multiplicar por 0).

Passo 6

Afirmação 4: “Se as matrizes aumentadas de dois sistemas são equivalentes por linhas, então ambos os sistemas têm o mesmo conjunto solução.”
Explicação didática: operações elementares de linha equivalem a multiplicar a matriz aumentada pela esquerda por matrizes elementares invertíveis; essas operações correspondem a combinações lineares das equações que preservam exatamente o conjunto de soluções. Operações elementares não criam soluções extranhas nem removem soluções; apenas reescrevem as equações de forma equivalente. Portanto, a afirmação 4 é verdadeira.

Passo 7

Afirmação 5: “Qualquer sistema com n equações lineares e n incógnitas tem no máximo n soluções.”
Raciocínio: soluções de sistemas lineares podem ser zero, única ou infinitas. Há exemplos fáceis de sistemas n\times n com infinitas soluções: por exemplo todas as equações 0=0 (matriz nula e vetor zero) dão infinitas soluções. Assim não existe um limite superior de n soluções; pode haver infinitas. Conclusão: afirmação 5 é falsa. (Contraexemplo simples: para n=2, o sistema 0x+0y=0,\,0x+0y=0 tem infinitas soluções.)

Passo 8

Afirmação 6: “Se um sistema possui duas soluções diferentes, então ele possui infinitas soluções.”
Demonstração prática: suponha x_1 e x_2 são soluções de A x=b com x_1\neq x_2. Então A(x_1-x_2)=0, ou seja, v:=x_1-x_2 é um vetor não-nulo da solução do homogêneo A x=0. Para qualquer escalar t temos
A(x_1 + t v) = A x_1 + t A v = b + t\cdot 0 = b,
portanto x_1+t v é solução para todo t\in\mathbb{R}. Tomando infinitos valores distintos de t obtemos infinitas soluções distintas. Logo a afirmação 6 é verdadeira.

Passo 9

Afirmação 7: “Se um sistema não possui variáveis livres, então ele possui uma solução única.”
Análise cuidadosa: “não possuir variáveis livres” significa que cada variável é uma variável pivô, isto é, \mathrm{rank}(A)=n\) (número de incógnitas). Mas isso não garante que o sistema seja consistente: pode ocorrer que \(\mathrm{rank}([A|b])>\mathrm{rank}(A)\), tornando o sistema inconsistente (sem soluções). Exemplo concreto: sistema com \(3\) equações e \(2\) incógnitas, \[\begin{cases} x=0,\\\ y=0,\\\\ 0=1, \end{cases}
tem matriz de coeficientes com pivô em x\] e em \(y (sem variáveis livres) mas a terceira equação é 0=1, impossível — sistema inconsistente. Assim, “sem variáveis livres” não garante que haja solução; quando existe solução ela é única, mas a afirmação não exige consistência. Portanto, como escrita, a afirmação 7 é falsa.

Passo 10

Afirmação 8: “Um sistema sobredeterminado não pode ter uma solução única.”
Definição: sobredeterminado significa m>n\) (mais equações do que incógnitas). Se a matriz de coeficientes \(A\) tem posto \(\mathrm{rank}(A)=n\) (ou seja, colunas linearmente independentes) e o sistema for consistente, então existe exatamente uma solução (sem variáveis livres). Por exemplo, o sistema \[\begin{cases} x=1,\\\ y=0,\\\ x+y=1 \end{cases}
tem m=3\], \(n=2, e a única solução (1,0). Logo um sistema sobredeterminado pode ter solução única. A afirmação 8 é falsa.

Passo 11

Afirmação 9: “Um sistema subdeterminado não pode ter uma solução única.”
Subdeterminado significa m<n (menos equações que incógnitas). Para uma matriz A com m<n temos \mathrm{rank}(A)\le m < n, então inevitavelmente há pelo menos uma coluna sem pivô, ou seja, existe variável livre. Se o sistema for consistente, a existência de variável livre implica infinitas soluções. Se for inconsistente, não há solução. Em nenhuma das duas situações há exatamente uma solução. Portanto a afirmação 9 é verdadeira.

Passo 12

Afirmação 10: “Se todas as colunas da matriz de coeficientes de um sistema são colunas pivô, então o sistema tem uma solução única.”
Interpretação: todas as colunas de A são pivôs \Rightarrow \mathrm{rank}(A)=n (nenhuma variável livre). Entretanto isso não assegura consistência: pode ocorrer \mathrm{rank}([A|b])>\mathrm{rank}(A) e o sistema ser inconsistente. Exemplo concreto (já usado antes): seja
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Aqui todas as colunas de A são pivôs (duas colunas, duas pivôs), mas o sistema A x=b é inconsistente (terceira linha 0=1). Assim a afirmação 10 como escrita é falsa.

Passo 13

Afirmação 11: “Um sistema tem infinitas soluções se, e somente se, pelo menos uma coluna da matriz de coeficientes não contém uma posição pivô.”
Análise: a direção “se tem infinitas soluções então existe coluna sem pivô” é verdadeira (infinitas soluções \Rightarrow existe variável livre \Rightarrow existe coluna sem pivô). Mas a direção inversa “se existe coluna sem pivô então tem infinitas soluções” exige consistência; sem consistência o sistema pode ser inconsistente (zero soluções). Portanto sem afirmar que o sistema é consistente a equivalência completa é falsa. Conclusão: afirmação 11 é falsa.

Passo 14

Afirmação 12: “Um sistema consistente tem infinitas soluções se, e somente se, pelo menos uma coluna da matriz de coeficientes não contém uma posição pivô.”
Agora a hipótese inclui consistência, o que elimina o problema anterior. Prova curta: se o sistema consistente tem ao menos uma coluna sem pivô então há variáveis livres e, por consistência, isso gera infinitas soluções; recíproco: se há infinitas soluções então existem variáveis livres, logo alguma coluna não tem pivô. Assim, sob a hipótese de consistência, a equivalência é verdadeira. Conclusão: afirmação 12 é verdadeira.

Passo 15

Afirmação 13: “Um sistema inconsistente às vezes tem uma solução única.”
Definição: inconsistente significa que não existe nenhum vetor x tal que A x=b. Portanto não pode ter nem uma nem mais soluções. Logo a afirmação é falsa.

Passo 16

Afirmação 14: “Uma matriz 5\times7 não pode ter uma posição pivô em cada linha.”
Análise: uma matriz 5\times7 tem 5 linhas e 7 colunas. O número máximo de pivôs (posto máximo) é \min(5,7)=5. Portanto é perfeitamente possível ter um pivô em cada uma das 5 linhas (posto máximo 5). Exemplo explícito: a matriz \bigl[I_5 \mid \text{duas colunas qualquer}\bigr] (onde I_5 é a identidade 5\times5) tem pivô em cada linha. Portanto a afirmação de que “não pode” é falsa. Conclusão: afirmação 14 é falsa.

Passo 17

Afirmação 15: “Uma matriz 6\times5 não pode ter uma posição pivô em cada linha.”
Análise: para uma matriz 6\times5 temos no máximo \min(6,5)=5 pivôs. Ter uma posição pivô em cada linha exigiria 6 pivôs, o que é impossível porque há apenas 5 colunas. Logo não se pode ter pivô em todas as 6 linhas. Conclusão: afirmação 15 é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro
Falso
Falso
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Falso
Falso
Verdadeiro
Falso
Falso
Verdadeiro
Falso
Falso
Verdadeiro

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