Descreva todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos na forma vetorial paramétrica, onde a matriz de coeficientes é equivalente por linhas à matriz dada. \left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & -9 & 5 \\\\ 0 & 1 & 2 & -6\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado dá a matriz de coeficientes (que é linha-equivalente à matriz do sistema) e pede: descrever todas as soluções do sistema linear homogêneo na forma vetorial paramétrica.
Trata-se de um sistema homogêneo, ou seja, o lado direito é o vetor nulo (zero). Assim queremos todas as soluções do sistema A\mathbf{x}=\mathbf{0}, onde A é a matriz acima e \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^{T}.
O objetivo: escrever o conjunto solução na forma vetorial paramétrica (ou seja, expressar \mathbf{x} como combinação linear de vetores com parâmetros livres).]
Passo 2
Entendimento das linhas como equações e identificação de variáveis básicas e livres.
Cada linha da matriz corresponde a uma equação linear (as colunas correspondem a x_1,x_2,x_3,x_4). Assim as duas equações são, respectivamente:
Explicação didática: em um sistema homogêneo, sempre existe a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}. Para descrever todas as soluções, achamos quais variáveis podem ser expressas em função de outras. As colunas com pivôs (elementos líderes) correspondem a variáveis básicas que se resolvem; as colunas sem pivô são as variáveis livres que tomamos como parâmetros. Aqui há pivôs nas colunas 1 e 2 (porque as linhas mostram coeficientes 1 em x_1 e em x_2), então x_1 e x_2 são variáveis básicas; x_3 e x_4 são variáveis livres.]
Passo 3
Resolver a segunda equação para a variável básica x_2.
A segunda equação é
x_2 + 2x_3 - 6x_4 = 0.
Isolando x_2 obtemos
x_2 = -2x_3 + 6x_4.
Comentário didático: isolar uma variável é simplesmente passar os outros termos para o outro lado da igualdade (com sinal trocado), porque estamos resolvendo para que termo em função dos demais.
Passo 4
Usar o valor de x_2 na primeira equação para encontrar x_1.
Didática final: isso mostra que o espaço das soluções (o núcleo de A) é um subespaço de dimensão 2, gerado pelos vetores \begin{pmatrix}5\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}7\\\ 6\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.]