Descreva todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos na forma vetorial paramétrica, onde a matriz de coeficientes é equivalente por linhas à matriz dada.
\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & -9 & 5 \\\\ 0 & 1 & 2 & -6\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes (que é linha-equivalente à matriz do sistema) e pede: descrever todas as soluções do sistema linear homogêneo na forma vetorial paramétrica.
Informações fornecidas:
  • A matriz dada é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -9 & 5 \\[4pt] 0 & 1 & 2 & -6 \end{pmatrix}.
  • Trata-se de um sistema homogêneo, ou seja, o lado direito é o vetor nulo (zero). Assim queremos todas as soluções do sistema A\mathbf{x}=\mathbf{0}, onde A é a matriz acima e \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^{T}.
  • O objetivo: escrever o conjunto solução na forma vetorial paramétrica (ou seja, expressar \mathbf{x} como combinação linear de vetores com parâmetros livres).]

Passo 2

Entendimento das linhas como equações e identificação de variáveis básicas e livres.
Cada linha da matriz corresponde a uma equação linear (as colunas correspondem a x_1,x_2,x_3,x_4). Assim as duas equações são, respectivamente:
\begin{aligned} x_1 - 2x_2 - 9x_3 + 5x_4 &= 0,\\[4pt] x_2 + 2x_3 - 6x_4 &= 0. \end{aligned}
Explicação didática: em um sistema homogêneo, sempre existe a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}. Para descrever todas as soluções, achamos quais variáveis podem ser expressas em função de outras. As colunas com pivôs (elementos líderes) correspondem a variáveis básicas que se resolvem; as colunas sem pivô são as variáveis livres que tomamos como parâmetros. Aqui há pivôs nas colunas 1 e 2 (porque as linhas mostram coeficientes 1 em x_1 e em x_2), então x_1 e x_2 são variáveis básicas; x_3 e x_4 são variáveis livres.]

Passo 3

Resolver a segunda equação para a variável básica x_2.
A segunda equação é
x_2 + 2x_3 - 6x_4 = 0.
Isolando x_2 obtemos
x_2 = -2x_3 + 6x_4.
Comentário didático: isolar uma variável é simplesmente passar os outros termos para o outro lado da igualdade (com sinal trocado), porque estamos resolvendo para que termo em função dos demais.

Passo 4

Usar o valor de x_2 na primeira equação para encontrar x_1.
A primeira equação é
x_1 - 2x_2 - 9x_3 + 5x_4 = 0.
Isolando x_1
x_1 = 2x_2 + 9x_3 - 5x_4.
Agora substituímos x_2 = -2x_3 + 6x_4:
\begin{aligned} x_1 &= 2(-2x_3 + 6x_4) + 9x_3 - 5x_4\\[4pt] &= -4x_3 + 12x_4 + 9x_3 - 5x_4\\[4pt] &= ( -4x_3 + 9x_3 ) + ( 12x_4 - 5x_4 )\\[4pt] &= 5x_3 + 7x_4. \end{aligned}
Mostrei cada soma e subtração para não pular passos: combinei os termos em x_3 e em x_4 separadamente.]

Passo 5

Escolher parâmetros para as variáveis livres e escrever a solução vetorial paramétrica.
Chamamos
x_3 = s,\qquad x_4 = t,
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros livres. Então
\begin{aligned} x_1 &= 5s + 7t,\\[4pt] x_2 &= -2s + 6t,\\[4pt] x_3 &= s,\\[4pt] x_4 &= t. \end{aligned}
Agora escrevemos o vetor solução \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^{T} como combinação linear separando os coeficientes de s e t:
\mathbf{x} = s\begin{pmatrix}5\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}7\\\ 6\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \qquad s,t\in\mathbb{R}.
Didática final: isso mostra que o espaço das soluções (o núcleo de A) é um subespaço de dimensão 2, gerado pelos vetores \begin{pmatrix}5\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}7\\\ 6\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}5\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}7\\\ 6\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}.

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