Descreva todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos na forma vetorial paramétrica, onde a matriz de coeficientes é equivalente por linhas à matriz dada. \left(\begin{array}{llll}1 & 3 & 0 & -4 \\\\ 2 & 6 & 0 & -8\end{array}\right)
e pede todas as soluções do sistema linear homogêneo associado na forma vetorial paramétrica. Ou seja, procurar todos os vetores \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T tais que
A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Informações relevantes dadas:
A matriz A tem 2 linhas e 4 colunas (portanto 4 incógnitas: x_1,x_2,x_3,x_4).
O sistema é homogêneo (termo independente \mathbf{0}).
As duas linhas parecem proporcional (vai aparecer na redução por linhas).]
Passo 2
Escrevendo o sistema linear correspondente às linhas de A:
Aqui cada equação foi obtida pegando a linha correspondente da matriz e igualando ao zero (porque é sistema homogêneo).]
Passo 3
Vamos fazer redução por linhas para encontrar pivôs e variáveis livres. A matriz aumentada (com o zero à direita) é equivalente à própria matriz de coeficientes para este objetivo; aplicamos a operação
Há exatamente um pivô (na primeira coluna), portanto o posto \mathrm{rank}(A)=1.
O número de incógnitas é n=4. Pela fórmula \text{nullidade} = n - \mathrm{rank}(A) temos \text{nullidade}=4-1=3. Ou seja, o espaço de soluções tem dimensão 3: haverá três parâmetros livres.
As colunas sem pivô (colunas 2,3,4) correspondem a variáveis livres: x_2,x_3,x_4 são livres; x_1 é variável pivô (dependente).
Passo 5
Escrever a equação não nula (a da primeira linha) explicitamente:
x_1 + 3x_2 -4x_4 = 0.
Isolando x_1:
x_1 = -3x_2 + 4x_4.
Passo 6
Introduzir parâmetros para as variáveis livres para escrever a solução de forma paramétrica. Seja
s = x_2,\qquad t = x_3,\qquad u = x_4,
onde s,t,u\in\mathbb{R} são parâmetros livres. Então, pelas relações anteriores:
Explicação didática: cada solução é obtida escolhendo valores para s,t,u (que representam x_2,x_3,x_4) e então calculando x_1 pela relação produzida pela linha de pivô.]
Passo 8
Opcionalmente, apresentar a mesma solução como combinação linear das três direções independentes (obtidas fixando um parâmetro igual a 1 e os outros a 0):
tomando s=1,t=0,u=0 obtém-se o vetor (-3,1,0,0)^T,
tomando s=0,t=1,u=0 obtém-se o vetor (0,0,1,0)^T,
tomando s=0,t=0,u=1 obtém-se o vetor (4,0,0,1)^T.
Assim o espaço das soluções é o subespaço gerado por esses três vetores (três graus de liberdade).