Descreva todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos na forma vetorial paramétrica, onde a matriz de coeficientes é equivalente por linhas à matriz dada.
\left(\begin{array}{llll}1 & 3 & 0 & -4 \\\\ 2 & 6 & 0 & -8\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 0 & -4 \\[4pt] 2 & 6 & 0 & -8\end{pmatrix}
e pede todas as soluções do sistema linear homogêneo associado na forma vetorial paramétrica. Ou seja, procurar todos os vetores \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T tais que
A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A tem 2 linhas e 4 colunas (portanto 4 incógnitas: x_1,x_2,x_3,x_4).
  • O sistema é homogêneo (termo independente \mathbf{0}).
  • As duas linhas parecem proporcional (vai aparecer na redução por linhas).]

Passo 2

Escrevendo o sistema linear correspondente às linhas de A:
\begin{cases} x_1 + 3x_2 + 0\cdot x_3 -4x_4 = 0,\\[4pt] 2x_1 + 6x_2 + 0\cdot x_3 -8x_4 = 0. \end{cases}
Aqui cada equação foi obtida pegando a linha correspondente da matriz e igualando ao zero (porque é sistema homogêneo).]

Passo 3

Vamos fazer redução por linhas para encontrar pivôs e variáveis livres. A matriz aumentada (com o zero à direita) é equivalente à própria matriz de coeficientes para este objetivo; aplicamos a operação
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Computando:
R_2 = (2,6,0,-8) - 2(1,3,0,-4) = (2,6,0,-8) - (2,6,0,-8) = (0,0,0,0).
Portanto a forma reduzida por linhas (escalonada) é
\begin{pmatrix}1 & 3 & 0 & -4 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Interpretação da redução:
  • Há exatamente um pivô (na primeira coluna), portanto o posto \mathrm{rank}(A)=1.
  • O número de incógnitas é n=4. Pela fórmula \text{nullidade} = n - \mathrm{rank}(A) temos \text{nullidade}=4-1=3. Ou seja, o espaço de soluções tem dimensão 3: haverá três parâmetros livres.
  • As colunas sem pivô (colunas 2,3,4) correspondem a variáveis livres: x_2,x_3,x_4 são livres; x_1 é variável pivô (dependente).

Passo 5

Escrever a equação não nula (a da primeira linha) explicitamente:
x_1 + 3x_2 -4x_4 = 0.
Isolando x_1:
x_1 = -3x_2 + 4x_4.

Passo 6

Introduzir parâmetros para as variáveis livres para escrever a solução de forma paramétrica. Seja
s = x_2,\qquad t = x_3,\qquad u = x_4,
onde s,t,u\in\mathbb{R} são parâmetros livres. Então, pelas relações anteriores:
x_1 = -3s + 4u,\qquad x_2 = s,\qquad x_3 = t,\qquad x_4 = u.

Passo 7

Escrever a solução componente a componente em função dos parâmetros:
\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\\[4pt]x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3s + 4u\\[4pt] s\\[4pt] t\\[4pt] u\end{pmatrix}.
Explicação didática: cada solução é obtida escolhendo valores para s,t,u (que representam x_2,x_3,x_4) e então calculando x_1 pela relação produzida pela linha de pivô.]

Passo 8

Opcionalmente, apresentar a mesma solução como combinação linear das três direções independentes (obtidas fixando um parâmetro igual a 1 e os outros a 0):
  • tomando s=1,t=0,u=0 obtém-se o vetor (-3,1,0,0)^T,
  • tomando s=0,t=1,u=0 obtém-se o vetor (0,0,1,0)^T,
  • tomando s=0,t=0,u=1 obtém-se o vetor (4,0,0,1)^T.
Assim o espaço das soluções é o subespaço gerado por esses três vetores (três graus de liberdade).

Resposta

\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\\[4pt]x_4\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}, \qquad s,t,u\in\mathbb{R}.]

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