Descreva todo processo que nos permite encontrar a energia de Fermi de um metal, ou seja, demonstre como se chega à equação
Sendo :
a massa do elétron;
a constante de Planck; e
o número de portadores de carga por unidade de volume.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir a energia de Fermi de um metal, que é a energia máxima que os elétrons possuem a zero Kelvin. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de estatística de Fermi-Dirac, densidade de estados e como relacionar essas ideias à quantidade de elétrons por unidade de volume.
Passo 2
Vamos começar calculando o número total de elétrons dentro de uma certa energia. Consideramos que os elétrons em um metal podem ser aproximados como um gás de elétrons livres. A densidade de estados $ g(E) $ nos diz quantos estados eletrônicos estão disponíveis em uma certa faixa de energia. Para três dimensões, a densidade de estados é dada por:
Onde:
- $ V $ é o volume,
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
- $ E $ é a energia.
Passo 3
No zero absoluto de temperatura, todos os estados com energia abaixo da energia de Fermi $ E_F $ estão preenchidos, e acima estão vazios. Portanto, o número total de elétrons $ N $ é obtido integrando a densidade de estados até $ E_F $:
Passo 4
Calculando a integral:
Substituindo na expressão de $ N $:
Simplificando:
Passo 5
Vamos relacionar $ N $ com a densidade de elétrons $ n $, onde $ n = \frac{N}{V} $:
Queremos isolar $ E_F $. Vamos multiplicar ambos os lados por $ 3\pi^2 $:
Passo 6
Elevando ambos os lados à potência $ \frac{2}{3} $:
Isolando $ E_F $:
Passo 7
Lembrando que $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $, substituímos:
Simplificando os termos:
Resposta
A energia de Fermi $ E_F $ é dada por: