Descreva todo processo que nos permite encontrar a energia de Fermi de um metal, ou seja, demonstre como se chega à equação
EF=(316 pi raiz2)^2 / 3 h^2m n^2 / 3
Sendo :
m a massa do elétron; h a constante de Planck; e n o número de portadores de carga por unidade de volume.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir a energia de Fermi de um metal, que é a energia máxima que os elétrons possuem a zero Kelvin. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de estatística de Fermi-Dirac, densidade de estados e como relacionar essas ideias à quantidade de elétrons por unidade de volume.

Passo 2

Vamos começar calculando o número total de elétrons dentro de uma certa energia. Consideramos que os elétrons em um metal podem ser aproximados como um gás de elétrons livres. A densidade de estados $ g(E) $ nos diz quantos estados eletrônicos estão disponíveis em uma certa faixa de energia. Para três dimensões, a densidade de estados é dada por:
g(E)
Onde:
  • $ V $ é o volume,
  • $ m $ é a massa do elétron,
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
  • $ E $ é a energia.

Passo 3

No zero absoluto de temperatura, todos os estados com energia abaixo da energia de Fermi $ E_F $ estão preenchidos, e acima estão vazios. Portanto, o número total de elétrons $ N $ é obtido integrando a densidade de estados até $ E_F $:
EF

Passo 4

Calculando a integral:
integral0^EF raizE , dE = 23 EF^3/2
Substituindo na expressão de $ N $:
N
Simplificando:
N = V2pi^2 ( 2mhbar^2 )^3/2 cdot 23 EF^3/2

Passo 5

Vamos relacionar $ N $ com a densidade de elétrons $ n $, onde $ n = \frac{N}{V} $:
N
Queremos isolar $ E_F $. Vamos multiplicar ambos os lados por $ 3\pi^2 $:
n

Passo 6

Elevando ambos os lados à potência $ \frac{2}{3} $:
23
Isolando $ E_F $:
( 3pi^2 n )^2/3 = 2mhbar^2 EF

Passo 7

Lembrando que $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $, substituímos:
hbar = h2pi
Simplificando os termos:
EF = ( 3pi^2 n2m )^2/3 ( h2pi )^2

Resposta

A energia de Fermi $ E_F $ é dada por:
EF

Exercícios relacionados