Descreva a transformação de Park simplificada, demonstrando os detalhes da sua obtenção.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar como obter a transformação de Park simplificada, isto é, o mapeamento das tensões (ou correntes) de um sistema trifásico balanceado (v_a,v_b,v_c) num referencial girante (d,q), desprezando o componente zero. Vamos usar dois blocos: a transformação de Clarke (abc \to\alpha\beta) e depois a rotação de Park ( \alpha\beta\todq).

Passo 2

Num sistema trifásico balanceado vale
v_a + v_b + v_c = 0,
logo não há seqüência zero e sobra apenas dois graus de liberdade. Podemos então definir o eixo estacionário \alpha\beta via Clarke simplificado:
\begin{pmatrix} v_\alpha\\[6pt] v_\beta \end{pmatrix} = \frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac12 & -\tfrac12\\[4pt] 0 & \tfrac{\sqrt3}{2} & -\tfrac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_a\\[4pt] v_b\\[4pt] v_c \end{pmatrix}.]

Passo 3

A seguir aplicamos a rotação de Park, que leva (v_\alpha,v_\beta) para o referencial girante (d,q) com ângulo instantâneo \theta:
\begin{pmatrix} v_d\\[6pt] v_q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\[4pt] -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_\alpha\\[4pt] v_\beta \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para obter a forma única abc→dq, basta compor as duas matrizes. Multiplicando-as, chega-se a
\begin{pmatrix} v_d\\[6pt] v_q \end{pmatrix} = \frac{2}{3} \begin{pmatrix} \cos\theta & \cos\!\bigl(\theta - \tfrac{2\pi}{3}\bigr) & \cos\!\bigl(\theta + \tfrac{2\pi}{3}\bigr)\\[8pt] -\sin\theta & -\sin\!\bigl(\theta - \tfrac{2\pi}{3}\bigr) & -\sin\!\bigl(\theta + \tfrac{2\pi}{3}\bigr) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_a\\[4pt] v_b\\[4pt] v_c \end{pmatrix}.]

Resposta

A transformação de Park simplificada para um sistema trifásico balanceado (v_a,v_b,v_c) é
\boxed{ \begin{pmatrix} v_d\\\ v_q \end{pmatrix} = \frac{2}{3} \begin{pmatrix} \cos\theta & \cos\!\bigl(\theta - \tfrac{2\pi}{3}\bigr) & \cos\!\bigl(\theta + \tfrac{2\pi}{3}\bigr)\\[6pt] -\sin\theta & -\sin\!\bigl(\theta - \tfrac{2\pi}{3}\bigr) & -\sin\!\bigl(\theta + \tfrac{2\pi}{3}\bigr) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_a\\\ v_b\\\ v_c \end{pmatrix} }.]

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