Descrever um algoritmo que computa a distância média em etapas de um vértice para os demais vértices de um grafo orientado fortemente conexo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descrevermos um algoritmo que calcula a distância média em etapas de um vértice para todos os outros vértices de um grafo orientado que é fortemente conexo. Isso significa que, nesse grafo, você pode ir de qualquer vértice para qualquer outro seguindo as direções das arestas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre grafos, algoritmos de busca como o BFS (Busca em Largura) e como calcular médias a partir dessas informações.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como representar o grafo. Um grafo orientado fortemente conexo é representado por um conjunto de vértices e arestas direcionadas entre eles. Para calcular as distâncias em etapas (ou seja, o número mínimo de arestas que precisamos percorrer para ir de um vértice a outro), podemos usar o algoritmo BFS, que é perfeito para encontrar as distâncias mais curtas em grafos não ponderados.
Passo 3
Vamos escolher um vértice de origem do qual queremos calcular a distância média para os demais vértices. Usaremos o BFS a partir desse vértice para explorar todos os outros vértices e registrar a distância de cada um. O BFS funciona explorando todos os vizinhos de um vértice antes de passar para os vizinhos dos vizinhos, garantindo que encontramos a distância mais curta.
Passo 4
Após executar o BFS, teremos uma lista de distâncias do vértice de origem para cada um dos outros vértices. Para encontrar a distância média, somamos todas essas distâncias e dividimos pelo número total de vértices menos um (já que não contamos a distância do vértice para ele mesmo).
Passo 5
Vamos agora colocar isso em forma de algoritmo:
- Escolha o vértice de origem.
- Execute o BFS a partir desse vértice para encontrar as distâncias para todos os outros vértices.
- Some todas as distâncias obtidas.
- Divida a soma pelo número total de vértices menos um.
- O resultado é a distância média.
Passo 6
Para ilustrar, suponha que nosso grafo tenha $ n $ vértices. Após o BFS, temos distâncias $ d_1, d_2, ···, d_{n-1} $. A distância média $ D $ será calculada por:
Resposta
Então, o algoritmo para computar a distância média em etapas de um vértice para os demais vértices de um grafo orientado fortemente conexo envolve usar o BFS a partir do vértice escolhido, somar todas as distâncias encontradas e dividir pelo número de vértices menos um. A distância média é dada por: