Qual é a descrição Lagrangiana do movimento dos fluidos? E a Euleriana?

Passo 1

O enunciado pede para apresentarmos duas formas de descrever o movimento de um fluido: a descrição Lagrangiana, em que “acompanhamos” cada partícula de fluido ao longo do tempo, e a descrição Euleriana, em que “olhamos” o fluido a partir de pontos fixos no espaço. Vamos definir as variáveis e funções necessárias em cada caso.

Passo 2

Descrição Lagrangiana:
Aqui introduzimos uma etiqueta (ou coordenada material) X que identifica cada partícula no instante inicial t0. A posição dessa partícula num instante t é dada por
x = chi(X,t),
onde chi é o mapeamento Lagrangiano. A velocidade material da partícula é
v(X,t) = partial chipartial t(X,t)
Dessa forma, todas as grandezas do fluido (densidade, pressão, etc.) são funções de (X,t), pois “seguimos” cada partícula.

Passo 3

Descrição Euleriana:
Nessa abordagem, fixamos um ponto no espaço x e descrevemos o fluido em função do tempo e da posição espacial. A velocidade é dada por um campo
u(x,t),
e cada propriedade do fluido, como densidade rho ou pressão p, também é escrita como
rho(x,t), p(x,t), etc. Aqui não há rótulo de partícula: olhamos o que “passa” por cada ponto espacial.

Passo 4

Relação e operador material:
Para ligar as duas descrições usamos o derivativo material, que mede a variação de uma propriedade ao acompanhar uma partícula. Se f é uma grandeza descrita Eulerianamente, então
D fD t = partial fpartial t + ucdotnabla f
Na descrição Lagrangiana, essa derivada é simplesmente partial f/partial t para a mesma partícula. Essa conexão mostra como converter equações de movimento entre as duas visões.

Resposta

Descrição Lagrangiana: cada partícula de fluido é identificada por X e sua posição é
x=chi(X,t), v(X,t)=partialchipartial t(X,t)
Descrição Euleriana: em cada ponto fixo x no espaço definimos campos
u(x,t), rho(x,t), p(x,t),
e assim por diante, analisando o fluido “de fora” em cada posição.

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