Qual é a descrição Lagrangiana do movimento dos fluidos? E a Euleriana?
Passo 1
O enunciado pede para apresentarmos duas formas de descrever o movimento de um fluido: a descrição Lagrangiana, em que “acompanhamos” cada partícula de fluido ao longo do tempo, e a descrição Euleriana, em que “olhamos” o fluido a partir de pontos fixos no espaço. Vamos definir as variáveis e funções necessárias em cada caso.
Passo 2
Descrição Lagrangiana:
Aqui introduzimos uma etiqueta (ou coordenada material) que identifica cada partícula no instante inicial
. A posição dessa partícula num instante
é dada por
Aqui introduzimos uma etiqueta (ou coordenada material)
onde
é o mapeamento Lagrangiano. A velocidade material da partícula é
Dessa forma, todas as grandezas do fluido (densidade, pressão, etc.) são funções de
, pois “seguimos” cada partícula.
Passo 3
Descrição Euleriana:
Nessa abordagem, fixamos um ponto no espaço e descrevemos o fluido em função do tempo e da posição espacial. A velocidade é dada por um campo
Nessa abordagem, fixamos um ponto no espaço
e cada propriedade do fluido, como densidade
ou pressão
, também é escrita como
,
, etc. Aqui não há rótulo de partícula: olhamos o que “passa” por cada ponto espacial.
Passo 4
Relação e operador material:
Para ligar as duas descrições usamos o derivativo material, que mede a variação de uma propriedade ao acompanhar uma partícula. Se é uma grandeza descrita Eulerianamente, então
Para ligar as duas descrições usamos o derivativo material, que mede a variação de uma propriedade ao acompanhar uma partícula. Se
Na descrição Lagrangiana, essa derivada é simplesmente
para a mesma partícula. Essa conexão mostra como converter equações de movimento entre as duas visões.
Resposta
Descrição Lagrangiana: cada partícula de fluido é identificada por
e sua posição é
Descrição Euleriana: em cada ponto fixo
no espaço definimos campos
e assim por diante, analisando o fluido “de fora” em cada posição.