Descubra partial zpartial x e partial zpartial y quando z é dado implicitamente em termos de x e y pelas equações abaixo:
x-y=sin (y z)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação que relaciona as variáveis $ x $, $ y $ e $ z $:
x
Queremos descobrir as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é útil quando uma variável está definida de forma indireta por meio de uma equação envolvendo outras variáveis.

Passo 2

Vamos começar encontrando $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a $ x $:
partial zpartial x
Simplificando o lado esquerdo:
x
No lado direito, aplicamos a regra da cadeia para a função $ \sin(yz) $:
partialpartial x(x - y) = partialpartial x(sin(yz))
Portanto, temos:
partial xpartial x - partial ypartial x = 1 - 0 = 1

Passo 3

Agora, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
partial zpartial x
Ou, de forma equivalente:
partial zpartial x = 1cos(yz) cdot y

Passo 4

Agora, vamos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Diferenciamos novamente a equação original, mas desta vez em relação a $ y $:
partial zpartial y
Simplificando o lado esquerdo:
y
No lado direito, aplicamos a regra da cadeia novamente:
partialpartial y(x - y) = partialpartial y(sin(yz))
Portanto, temos:
0 - 1 = -1

Passo 5

Vamos expandir a expressão do lado direito:
-1 = cos(yz) cdot z + cos(yz) cdot y cdot partial zpartial y
Isolando os termos que contêm $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial y

Passo 6

Agora, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial y
Podemos simplificar dividindo cada termo por $ \cos(yz) \cdot y $:
partial zpartial y = -1 - cos(yz) cdot zcos(yz) cdot y

Resposta

As derivadas parciais de $ z $ são:
z
e
partial zpartial x = 1y cos(yz)

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