Descubra
quando
Ă© dado implicitamente em termos de
e
pelas equações abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação que relaciona as variáveis $ x $, $ y $ e $ z $:
Queremos descobrir as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é útil quando uma variável está definida de forma indireta por meio de uma equação envolvendo outras variáveis.
Passo 2
Vamos começar encontrando $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a $ x $:
Simplificando o lado esquerdo:
No lado direito, aplicamos a regra da cadeia para a função $ \sin(yz) $:
Portanto, temos:
Passo 3
Agora, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Ou, de forma equivalente:
Passo 4
Agora, vamos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Diferenciamos novamente a equação original, mas desta vez em relação a $ y $:
Simplificando o lado esquerdo:
No lado direito, aplicamos a regra da cadeia novamente:
Portanto, temos:
Passo 5
Vamos expandir a expressão do lado direito:
Isolando os termos que contêm $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Passo 6
Agora, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Podemos simplificar dividindo cada termo por $ \cos(yz) \cdot y $:
Resposta
As derivadas parciais de $ z $ são:
e