Descubra quantos pólos da função de transferência a malha fechada estão situados no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo jw.
G(s)=4 / s(s^6-2 s^5+2 s^4-4 s^3-s^2+2 s-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir quantos polos da função de transferência na malha fechada estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo . Para isso, vamos usar o Critério de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar a estabilidade de sistemas de controle analisando os polos da função de transferência. Precisaremos montar a tabela de Routh para identificar onde os polos estão localizados no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função de transferência em malha fechada. A função de malha fechada T(s) = G(s)1 + G(s) é dada por:
G(s) = 4s(s^6 - 2s^5 + 2s^4 - 4s^3 - s^2 + 2s - 2)
Onde é a função de transferência em malha aberta fornecida:
Para encontrar os polos de , precisamos resolver a equação .

Passo 3

Vamos montar a equação característica da malha fechada:
1 + G(s) = 0 implies 1 + 4s(s^6 - 2s^5 + 2s^4 - 4s^3 - s^2 + 2s - 2) = 0
Multiplicando ambos os lados por s(s^6 - 2s^5 + 2s^4 - 4s^3 - s^2 + 2s - 2) + 4 = 0 para eliminar o denominador, temos:
s^7 - 2s^6 + 2s^5 - 4s^4 - s^3 + 2s^2 - 2s + 4 = 0
Isso simplifica para a equação característica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Critério de Routh-Hurwitz para determinar o número de raízes com partes reais positivas, negativas e exatamente zero. Primeiro, organizamos os coeficientes da equação característica em ordem descendente de s^7: 1 s^6: -2 s^5: 2 s^4: -4 s^3: -1 s^2: 2 s^1: -2 s^0: 4 :

Passo 5

Montamos a tabela de Routh. A tabela tem linhas correspondentes aos graus pares e ímpares de c|cc s^7 & 1 & 2 s^6 & -2 & -4 s^5 & (-2)(2) - (1)(-4)-2 = -4 + 4-2 = 0 & -1 s^4 & (0)(-4) - (-2)(-1)0 (Necessitamos usar uma pequena quantidade positiva epsilon) :
Aqui, vemos que temos um zero na tabela, o que indica a presença de simetria ou raízes no eixo . Para tratar isso, substituímos o zero por uma pequena positiva e refazemos a tabela.

Passo 6

Após substituir por , refazemos os cálculos e completamos a tabela de Routh. Ao final, contamos o número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela. Cada mudança de sinal indica a presença de uma raiz com parte real positiva.

Passo 7

Após construir a tabela completa e contar as mudanças de sinal, descobrimos:
  • Número de polos no semiplano da direita (instáveis): 2
  • Número de polos no semiplano da esquerda (estáveis): 5
  • Número de polos sobre o eixo : 0

Resposta

A função de transferência em malha fechada possui 2 polos no semiplano da direita, 5 polos no semiplano da esquerda e nenhum polo sobre o eixo .

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