Descubra quantos pólos da função de transferência a malha fechada estão situados no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo jw.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir quantos polos da função de transferência na malha fechada estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo
. Para isso, vamos usar o Critério de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar a estabilidade de sistemas de controle analisando os polos da função de transferência. Precisaremos montar a tabela de Routh para identificar onde os polos estão localizados no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função de transferência em malha fechada. A função de malha fechada
é dada por:
Onde
é a função de transferência em malha aberta fornecida:
Para encontrar os polos de
, precisamos resolver a equação
.
Passo 3
Vamos montar a equação característica da malha fechada:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador, temos:
Isso simplifica para a equação característica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Critério de Routh-Hurwitz para determinar o número de raízes com partes reais positivas, negativas e exatamente zero. Primeiro, organizamos os coeficientes da equação característica em ordem descendente de
:
Passo 5
Montamos a tabela de Routh. A tabela tem linhas correspondentes aos graus pares e ímpares de
:
Aqui, vemos que temos um zero na tabela, o que indica a presença de simetria ou raízes no eixo
. Para tratar isso, substituímos o zero por uma pequena
positiva e refazemos a tabela.
Passo 6
Após substituir
por
, refazemos os cálculos e completamos a tabela de Routh. Ao final, contamos o número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela. Cada mudança de sinal indica a presença de uma raiz com parte real positiva.
Passo 7
Após construir a tabela completa e contar as mudanças de sinal, descobrimos:
- Número de polos no semiplano da direita (instáveis): 2
- Número de polos no semiplano da esquerda (estáveis): 5
- Número de polos sobre o eixo
: 0
Resposta
A função de transferência em malha fechada possui 2 polos no semiplano da direita, 5 polos no semiplano da esquerda e nenhum polo sobre o eixo
.