Se deseja agitar um líquido que tem uma viscosidade de 1,5 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s} e massa especifica de 969 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, em um tanque de 0,91 \mathrm{~m} de diâmetro. O agitador será uma turbina aberta de seis pás com um diâmetro de 0,305 \mathrm{~m}, que opera a 180 rpm . O tanque tem quatro defletores(chicanas) verticais, todos eles com uma largura “J” de 0,076 m. Calcule a potência do agitador, que será necessária para movimentar o fluido.

Passo 1

Entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
\mu = 1,5\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}
\rho = 969\\ \mathrm{kg/m^{3}}
D_{\text{tanque}} = 0,91\\ \mathrm{m}
D_{\text{hélice}} = 0,305\\ \mathrm{m}é
\text{rotação} = 180\\ \mathrm{rpm}̧
\text{defletores: }4\text{ (baffles), largura }J=0,076\\ \mathrm{m}
O que é pedido: calcular a potência P necessária para movimentar o fluido com esse agitador.

Passo 2

Explicar o método e as fórmulas principais que usaremos (aulas rápidas).
  1. Para dimensionar potência de um agitador usa-se a correlação adimensional com o número de potência N_P:
P = N_P\,\rho\,N^3\,D^5,
onde:
  • P é a potência (W),
  • N_P é o número de potência (adimensional), dependente do tipo de impelidor e do regime de escoamento,
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • N é a velocidade de rotação em \mathrm{s^{-1}} (revoluções por segundo),
  • D é o diâmetro do impelidor (m).
  1. Para saber se estamos em regime laminar, transitório ou turbulento, usamos o número de Reynolds para mistura:
Re = \dfrac{\rho\,N\,D^2}{\mu},
onde \mu é a viscosidade absoluta do fluido. Em mistura:
  • Re \lesssim 10 é laminar,
  • 10 \lesssim Re \lesssim 10^4 é transitório,
  • Re \gtrsim 10^4 é turbulento (onde N_P tende a ser constante).
Explicação curta sobre N_P: é uma constante empírica para um tipo de impelidor em regime turbulento. Para turbina do tipo Rushton (hélice aberta de palhetas radiais — 6 pás é clássico), valores típicos de N_P estão na faixa de aproximadamente 4 a 6. Com baffles (defletores) bem posicionados, o escoamento é bem misturado e o N_P do Rushton é frequentemente tomado como N_P\approx 5. Vou justificar e usar N_P=5 porque:
  • impelidor dado é uma turbina aberta de seis pás (semelhança com Rushton),
  • há quatro defletores (condição padrão que aumenta troca e evita vórtices),
  • o número de Reynolds que vamos calcular vai mostrar regime totalmente turbulento, portanto N_P constante e esse valor é adequado.

Passo 3

Converter e calcular N (rev/s) e o número de Reynolds passo a passo.
Converter rotação:
N = \dfrac{180\\ \mathrm{rpm}}{60} = 3\\ \mathrm{s^{-1}}.
Calcular D^2:
D^2 = (0,305)^2 = 0,093025\\ \mathrm{m^2}.
Aplicar a fórmula do Reynolds:
Re = \dfrac{\rho\,N\,D^2}{\mu} = \dfrac{969\cdot 3\cdot 0,093025}{1,5\times 10^{-3}}.
Calcule o numerador:
969\cdot 3\cdot 0,093025 = 969\cdot 0,279075 \approx 270,424.
Agora dividir por \mu:
Re \approx \dfrac{270,424}{1,5\times 10^{-3}} \approx 1,8\times 10^{5}.
Interpretação: \;Re\approx 1,8\times 10^{5} está muito acima de 10^{4}, logo o escoamento é completamente turbulento e o número de potência N_P pode ser tomado como constante.

Passo 4

Escolha do N_P com justificativa didática.
  • O impelidor descrito (turbina aberta de seis pás) é muito parecido com a clássica turbina de Rushton (que tem seis pás radiais), para a qual valores experimentais de N_P em regime turbulento ficam em torno de 4{,}5 a 6.
  • A presença de quatro defletores (baffles) previne o vórtice central e aumenta a eficiência de mistura, mas não muda muito o intervalo típico de N_P.
  • Para simplificar e por ser um valor padrão amplamente usado, adotamos:
N_P = 5{,}0.
(Se alguém usasse N_P=5{,}5 ou 4{,}5 daria potências próximas; a escolha 5{,}0 é razoável e conservadora para esse tipo de problema de prova.)

Passo 5

Calcular D^5 e N^3 para usar na fórmula da potência, mostrando contas detalhadas.
Calcular D^5:
D = 0,305\\ \mathrm{m}
D^2 = 0,093025
D^3 = 0,093025\cdot 0,305 = 0,028372625
D^4 = 0,028372625\cdot 0,305 \approx 0,008653651
D^5 = 0,008653651\cdot 0,305 \approx 0,0026393634\\ \mathrm{m^5}.
Calcular N^3:
N = 3\\ \mathrm{s^{-1}}\quad\Rightarrow\quad N^3 = 3^3 = 27\\ \mathrm{s^{-3}}.

Passo 6

Aplicar a fórmula da potência e realizar a multiplicação com cuidado (contas detalhadas).
Fórmula:
P = N_P\,\rho\,N^3\,D^5.
Substituindo os valores:
P = 5{,}0 \times 969 \times 27 \times 0,0026393634.
Primeiro calcule \rho N^3 D^5:
969\times 27 = 26163.
26163 \times 0,0026393634 \approx 69{,}0537.
Agora multiplique por N_P:
P \approx 5{,}0 \times 69{,}0537 \approx 345{,}2685\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma razoável para duas ou três cifras significativas:
P \approx 345\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Comentários práticos e checagem rápida (mini-aula final):
  • O resultado está na faixa de algumas centenas de watts — faz sentido físico para um agitador relativamente pequeno ( D=0,305\\ \mathrm{m}) operando a 180\\ \mathrm{rpm} em um líquido de densidade próxima a 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Se quisermos um valor conservador, poderíamos usar N_P=5{,}5 e obteríamos cerca de 380\\ \mathrm{W}; com N_P=4{,}5 teremos cerca de 310\\ \mathrm{W}. Então 345\\ \mathrm{W} com N_P=5 é um bom valor central para prova e projeto preliminar.
  • Observação: em projetos reais, confirmam-se N_P por dados experimentais do fabricante do impelidor ou por curvas experimentais.

Resposta

\;345\\ \mathrm{W}

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