Água quente, a
está armazenada em um tanque aberto e é bombeada a uma taxa de
. A linha do tanque de armazenamento até a aspiração da bomba tem
de comprimento e é de aço SCH40, com 2 polegadas de diâmetro, contendo 3 cotovelos. A linha de descarga da bomba tem 61 m de tubulação de 2 polegadas SCH40, com dois cotovelos. A água é descarregada
acima do nível do tanque de armazenamento, com descarga aberta.
a) Calcule as perdas totais por fricção;
b) Calcule o trabalho de eixo da bomba em J/kg;
c) Calcule a potência da bomba em kW, quando sua eficiência chegar a 75%;
d) Refaça os mesmos cálculos utilizando as curvas características de bombas, escolhendo a rotação da bomba, o tamanho do rotor, potência;
e) Diga se a bomba irá cavitar ou não.
a) Calcule as perdas totais por fricção;
b) Calcule o trabalho de eixo da bomba em J/kg;
c) Calcule a potência da bomba em kW, quando sua eficiência chegar a 75%;
d) Refaça os mesmos cálculos utilizando as curvas características de bombas, escolhendo a rotação da bomba, o tamanho do rotor, potência;
e) Diga se a bomba irá cavitar ou não.
Passo 1
O enunciado pede que eu faça os seguintes cálculos para água quente a
, com vazão de
, tubulação SCH40 de 2" e geometrias indicadas:
- a) Calcular as perdas totais por fricção na linha (sucção + recalque), usando a tubulação e os acessórios descritos.
- b) Calcular o trabalho de eixo da bomba em
. - c) Calcular a potência da bomba em
quando a eficiência é . - d) Repetir os cálculos usando curvas características de bomba, escolhendo rotação, tamanho do rotor e potência (vou escolher um conjunto plausível e justificar).
- e) Verificar se a bomba vai cavitar ou não (calcular
e comparar com um típico da bomba escolhida).
Dados extraídos do enunciado (listei tudo explicitamente):
Passo 2
Propriedades da água a
(valores típicos tabelados; estou usando aproximações tabeladas e explico o porquê):
- Densidade
: a água a tem aproximadamente . Eu peguei esse valor das tábuas de propriedades da água (valor tabelado típico). - Viscosidade cinemática
: a viscosidade dinâmica a essa temperatura é cerca de ; assim
Explicação curta:
e
são necessários para calcular a velocidade do fluido e o número de Reynolds; valores exatos vêm de tabelas de termofísica da água.
Passo 3
Conversões e geometria da tubulação:
- Vazão em
:
- Diâmetro interno de 2" SCH40: valor padrão
(usei o diâmetro interno comercial de 2" schedule 40). - Área da seção:
- Velocidade média:
Explicação: área =
é a fórmula da área de um círculo; dividir a vazão pela área dá a velocidade média axial.
Passo 4
Número de Reynolds e regime de escoamento:
- Fórmula do Reynolds:
- Substituindo:
Interpretação:
indica escoamento turbulento totalmente desenvolvido — portanto usaremos fórmulas/tabelas para escoamento turbulento (fator de atrito aproximadamente independente de número de Mach, mas depende de rugosidade relativa).
Passo 5
Cálculo do fator de atrito
(Darcy-Weisbach) usando fórmula explícita de Swamee–Jain (boa prática para provas sem iterar Colebrook):
- Rugosidade absoluta típica para aço comercial:
. - Fórmula de Swamee–Jain:
- Calculei passo a passo:
soma interna
, logaritmo
.
- Assim
Explicação: o fator de atrito relaciona perda de carga por unidade de comprimento com a velocidade; a fórmula Swamee–Jain é uma forma explícita prática da equação de Colebrook, adequada para escoamento turbulento.
Passo 6
Perdas por atrito maiores (Darcy–Weisbach) em cada trecho:
- Termo genérico:
onde
.
- Primeiro calculei a cabeça de velocidade:
- Sucção (
):
- Recalque (
):
Explicação:
é o número de diâmetros de comprimento; multiplicando por
e pela cabeça de velocidade dá a perda maior por atrito no trecho.
Passo 7
Perdas menores (fittings, cotovelos, entradas/saídas):
- Para cotovelos e entradas/saídas uso valores típicos de
(coeficiente de perda localizada): - Cotovelo 90° padrão (curto raio)
(valor típico usado em problemas de prova). - Entrada súbita do tanque para a tubulação
. - Saída livre para a atmosfera (bocal)
(valor conservador).
- Cotovelo 90° padrão (curto raio)
- Somando:
- Sucção:
. - Recalque:
.
- Sucção:
- Conversão em cabeça:
Explicação: cada acessório produz uma perda de energia proporcional à cabeça de velocidade, com fator
experimental/típico.
Passo 8
Perdas totais por fricção (soma de perdas maiores e menores, ambas sucção + recalque):
Substituindo os valores:
Energia por unidade de massa correspondente (J/kg):
Isso responde a parte (a): perdas totais por fricção em metros de coluna de água e em J/kg. Observação: arredondei para 3 algarismos significativos.
Passo 9
Cálculo do trabalho de eixo da bomba (parte b):
- A bomba precisa vencer a elevação estática e as perdas por fricção. Como as superfícies de entrada e saída estão à pressão atmosférica (tanque aberto e descarga aberta), os termos de pressão estático se cancelam.
- Head total exigido pela bomba:
- Trabalho por unidade de massa (J/kg) entregue pela bomba:
Explicação: trabalho por massa = energia potencial (g z) + perdas por fricção convertidas para J/kg; pressão na superfície é atmosférica dos dois lados, então não contribui.
Passo 10
Potência da bomba com eficiência de
(parte c):
- Vazão mássica:
- Potência hidráulica entregue ao fluido:
- Potência no eixo (considerando eficiência
):
Explicação: a eficiência da bomba é razão entre potência hidráulica sim e potência mecânica no eixo; se a bomba tem 75% de eficiência precisamos fornecer mais potência elétrica para o motor para suprir perdas.
Passo 11
Parte (d) — refazer usando curvas características da bomba, escolhendo rotação, rotor e potência:
Eu não tenho uma curva real fornecida no enunciado, então escolherei um conjunto plausível (método aceitável em provas quando se pede escolher uma bomba):
Eu não tenho uma curva real fornecida no enunciado, então escolherei um conjunto plausível (método aceitável em provas quando se pede escolher uma bomba):
Escolha e justificativa:
- Rotação:
(padrão comercial para 50 Hz com motor 4 polos). - Diâmetro do impulsor (rotor):
(escolha típica para pequena bomba centrífuga que dá vazões de algumas dezenas de ). - Objetivo: procurar um ponto de operação (duty) próximo de
e . - Curva típica de bomba centrífuga (forma qualitativa):
decresce com . Vou escolher um modelo de bomba cujo ponto de melhor eficiência (BEP) seja aproximadamente neste par e cuja eficiência nominal seja naquele ponto; muitos fabricantes oferecem bombas com na faixa – para essa vazão. - Potência: usando a curva (assumida) que dá
a e eficiência , a potência necessária é essencialmente a mesma que calculada no Passo 10:
- Escolha comercial: como potência comercial usa-se um motor com folga, escolho um motor comercial de
a (motor padrão), acoplado a uma bomba com impulsor . Essa escolha deixa margem para variações de carga e pequenas discrepâncias entre a curva nominal e condições reais.
Explicação didática: a curva H(Q) e curva de eficiência permitem ajustar a rotação e o diâmetro do rotor via leis de afinidade (se alterar rotação ou diâmetro, Q e H mudam aproximadamente com potências de
e
). Eu escolhi uma bomba cuja curva comercial passe pelo ponto de operação calculado; usando essa curva o trabalho por kg e potência hidráulica batem com os números anteriores (pois a hidráulica não muda — cabe à bomba escolhida fornecer esse H a esse Q). Portanto o cálculo numérico de potência permanece como no passo anterior; a diferença é a escolha prática do motor (escolhi 2,2 kW para segurança).
Passo 12
Parte (e) — verificação de cavitação usando
e
:
- Cálculo da pressão de vapor da água a
(usei a equação de Antoine — procedimento padrão em provas):
- Usando constantes típicas de Antoine para água nesta faixa, obtive
- Cálculo de
(à entrada da bomba). Fórmula (para tanque aberto e tomando a superfície como referência):
Aqui,
é a diferença de nível entre superfície livre do tanque e o eixo/olho da bomba; assumi
(ou seja, bomba aproximadamente à mesma cota do nível livre) — se a bomba estivesse muito acima do nível do tanque a
diminuiria (pior para cavitação).
- Pressão atmosférica padrão:
. - Convertendo termos (usando
e do Passo 2):
- Já calculei
. - Termo de velocidade
. - Assim
- Valor de
(requerido): como escolhi uma bomba comercial plausível para esse ponto, um pitfall comum é que bombas pequenas podem ter entre e dependendo do desenho. Para a bomba que escolhi (centrífuga, impulsor , ), um valor típico no ponto de operação seria
- Comparação e conclusão:
ou seja, há margem positiva de aproximadamente
. Portanto, com as hipóteses feitas (bomba à mesma cota do tanque,
-values escolhidos, e
típico), a bomba NÃO deve cavitar. Observação importante: se a bomba estiver em posição elevada (sucção com “lift” negativo) ou se a
real do modelo da bomba for maior que
, então cavitação ocorrerá — por isso em projeto real deve-se conferir a curva do fabricante.
Resposta
a) Perdas por fricção totais
b) Altura total exigida pela bomba
. Trabalho de eixo por massa
c) Potência necessária (eficiência
)
d) Escolha prática: bomba centrífuga a
com impulsor
; ponto de operação
(
),
, eficiência
; potência calculada
(sugestão de motor comercial:
para margem).
e)
. Assumindo
típico da bomba
,
(margem
), logo não deve cavitar sob as hipóteses feitas.