Água quente, a 82,2^{\circ} \mathrm{C} está armazenada em um tanque aberto e é bombeada a uma taxa de 0,379 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. A linha do tanque de armazenamento até a aspiração da bomba tem 6,1 \mathrm{~m} de comprimento e é de aço SCH40, com 2 polegadas de diâmetro, contendo 3 cotovelos. A linha de descarga da bomba tem 61 m de tubulação de 2 polegadas SCH40, com dois cotovelos. A água é descarregada 6,1 \mathrm{~m} acima do nível do tanque de armazenamento, com descarga aberta.
a) Calcule as perdas totais por fricção;
b) Calcule o trabalho de eixo da bomba em J/kg;
c) Calcule a potência da bomba em kW, quando sua eficiência chegar a 75%;
d) Refaça os mesmos cálculos utilizando as curvas características de bombas, escolhendo a rotação da bomba, o tamanho do rotor, potência;
e) Diga se a bomba irá cavitar ou não.

Passo 1

O enunciado pede que eu faça os seguintes cálculos para água quente a 82{,}2^\circ\mathrm{C}, com vazão de 0{,}379\\ \mathrm{m^3/min}, tubulação SCH40 de 2" e geometrias indicadas:
  • a) Calcular as perdas totais por fricção na linha (sucção + recalque), usando a tubulação e os acessórios descritos.
  • b) Calcular o trabalho de eixo da bomba em \mathrm{J/kg}.
  • c) Calcular a potência da bomba em \mathrm{kW} quando a eficiência é 75\%.
  • d) Repetir os cálculos usando curvas características de bomba, escolhendo rotação, tamanho do rotor e potência (vou escolher um conjunto plausível e justificar).
  • e) Verificar se a bomba vai cavitar ou não (calcular \mathrm{NPSH}_a e comparar com um \mathrm{NPSH}_r típico da bomba escolhida).
Dados extraídos do enunciado (listei tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Temperatura da água: }82{,}2^\circ\mathrm{C}\\[2pt] &\text{Vazão volumétrica: }Q=0{,}379\\ \mathrm{m^3/min}\\[2pt] &\text{Linha de sucção: }L_s=6{,}1\\ \mathrm{m},\\ \text{3 cotovelos}\\[2pt] &\text{Linha de recalque: }L_d=61\\ \mathrm{m},\\ \text{2 cotovelos}\\[2pt] &\text{Diâmetro: 2'' SCH40 (usar diâmetro interno típico)}\\[2pt] &\text{Elevação de descarga (dif. de nível): }z=6{,}1\\ \mathrm{m}\\[2pt] &\text{Descarga aberta ao ar (pressão atmosférica na saída)}. \end{aligned}áãéçãââíçãíãéí]

Passo 2

Propriedades da água a 82{,}2^\circ\mathrm{C} (valores típicos tabelados; estou usando aproximações tabeladas e explico o porquê):
  • Densidade \rho: a água a 82{,}2^\circ\mathrm{C} tem aproximadamente \rho\approx 971{,}8\\ \mathrm{kg/m^3}. Eu peguei esse valor das tábuas de propriedades da água (valor tabelado típico).
  • Viscosidade cinemática \nu: a viscosidade dinâmica \mu a essa temperatura é cerca de 3{,}55\times 10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}; assim
\nu=\frac{\mu}{\rho}\approx\frac{3{,}55\times 10^{-4}}{971{,}8}\approx 3{,}65\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
Explicação curta: \rho e \nu são necessários para calcular a velocidade do fluido e o número de Reynolds; valores exatos vêm de tabelas de termofísica da água.

Passo 3

Conversões e geometria da tubulação:
  • Vazão em \mathrm{m^3/s}:
Q=\frac{0{,}379}{60}=0{,}00631667\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Diâmetro interno de 2" SCH40: valor padrão d\approx 2{,}067\\ \mathrm{in}=0{,}0525\\ \mathrm{m} (usei o diâmetro interno comercial de 2" schedule 40).
  • Área da seção:
A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi (0{,}0525)^2}{4}\approx 0{,}0021643\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}00631667}{0{,}0021643}\approx 2{,}9199\\ \mathrm{m/s}.
Explicação: área = \pi d^2/4 é a fórmula da área de um círculo; dividir a vazão pela área dá a velocidade média axial.

Passo 4

Número de Reynolds e regime de escoamento:
  • Fórmula do Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{v d}{\nu}.
  • Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{2{,}9199\cdot 0{,}0525}{3{,}65\times 10^{-7}}\approx 4{,}20\times 10^{5}.
Interpretação: \mathrm{Re}\gtrsim 4\times 10^5 indica escoamento turbulento totalmente desenvolvido — portanto usaremos fórmulas/tabelas para escoamento turbulento (fator de atrito aproximadamente independente de número de Mach, mas depende de rugosidade relativa).

Passo 5

Cálculo do fator de atrito f (Darcy-Weisbach) usando fórmula explícita de Swamee–Jain (boa prática para provas sem iterar Colebrook):
  • Rugosidade absoluta típica para aço comercial: \epsilon\approx 4{,}6\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Fórmula de Swamee–Jain:
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon}{3{,}7d}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
  • Calculei passo a passo:
\frac{\epsilon}{3{,}7d}=\frac{4{,}6\times 10^{-5}}{3{,}7\cdot 0{,}0525}\approx 2{,}37\times 10^{-4},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx \frac{5{,}74}{(4{,}20\times 10^{5})^{0{,}9}}\approx 4{,}96\times 10^{-5},
soma interna \approx 2{,}86\times 10^{-4}, logaritmo \log_{10}(\cdot)\approx -3{,}5434.
  • Assim
f\approx 0{,}01991.
Explicação: o fator de atrito relaciona perda de carga por unidade de comprimento com a velocidade; a fórmula Swamee–Jain é uma forma explícita prática da equação de Colebrook, adequada para escoamento turbulento.

Passo 6

Perdas por atrito maiores (Darcy–Weisbach) em cada trecho:
  • Termo genérico:
h_f=f\frac{L}{d}\frac{v^2}{2g},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Primeiro calculei a cabeça de velocidade:
\frac{v^2}{2g}=\frac{(2{,}9199)^2}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}4348\\ \mathrm{m}.
  • Sucção ( L_s=6{,}1\\ \mathrm{m}):
h_{f,s}=0{,}01991\cdot\frac{6{,}1}{0{,}0525}\cdot 0{,}4348 \approx 1{,}0057\\ \mathrm{m}.
  • Recalque ( L_d=61\\ \mathrm{m}):
h_{f,d}=0{,}01991\cdot\frac{61}{0{,}0525}\cdot 0{,}4348 \approx 10{,}057\\ \mathrm{m}.
Explicação: L/d é o número de diâmetros de comprimento; multiplicando por f e pela cabeça de velocidade dá a perda maior por atrito no trecho.

Passo 7

Perdas menores (fittings, cotovelos, entradas/saídas):
  • Para cotovelos e entradas/saídas uso valores típicos de K (coeficiente de perda localizada):
    • Cotovelo 90° padrão (curto raio) K_{el}\approx 0{,}30 (valor típico usado em problemas de prova).
    • Entrada súbita do tanque para a tubulação K_{ent}\approx 0{,}5.
    • Saída livre para a atmosfera (bocal) K_{exit}\approx 1{,}0 (valor conservador).
  • Somando:
    • Sucção: K_{s}=3\cdot 0{,}3 + 0{,}5 = 1{,}4.
    • Recalque: K_{d}=2\cdot 0{,}3 + 1{,}0 = 1{,}6.
  • Conversão em cabeça:
h_{m,s}=K_s\frac{v^2}{2g}=1{,}4\cdot 0{,}4348\approx 0{,}6087\\ \mathrm{m},
h_{m,d}=K_d\frac{v^2}{2g}=1{,}6\cdot 0{,}4348\approx 0{,}6957\\ \mathrm{m}.
Explicação: cada acessório produz uma perda de energia proporcional à cabeça de velocidade, com fator K experimental/típico.

Passo 8

Perdas totais por fricção (soma de perdas maiores e menores, ambas sucção + recalque):
h_{f,\text{total}}=h_{f,s}+h_{f,d}+h_{m,s}+h_{m,d}.
Substituindo os valores:
h_{f,\text{total}}=1{,}0057 + 10{,}057 + 0{,}6087 + 0{,}6957 \approx 12{,}367\\ \mathrm{m}.
Energia por unidade de massa correspondente (J/kg):
\text{perda (J/kg)}=g\cdot h_{f,\text{total}}=9{,}81\cdot 12{,}367\approx 121{,}26\\ \mathrm{J/kg}.
Isso responde a parte (a): perdas totais por fricção em metros de coluna de água e em J/kg. Observação: arredondei para 3 algarismos significativos.

Passo 9

Cálculo do trabalho de eixo da bomba (parte b):
  • A bomba precisa vencer a elevação estática e as perdas por fricção. Como as superfícies de entrada e saída estão à pressão atmosférica (tanque aberto e descarga aberta), os termos de pressão estático se cancelam.
  • Head total exigido pela bomba:
H = z + h_{f,\text{total}} = 6{,}1 + 12{,}367 = 18{,}467\\ \mathrm{m}.
  • Trabalho por unidade de massa (J/kg) entregue pela bomba:
w_{\text{eixo, por kg}} = g H = 9{,}81\cdot 18{,}467 \approx 181{,}19\\ \mathrm{J/kg}.
Explicação: trabalho por massa = energia potencial (g z) + perdas por fricção convertidas para J/kg; pressão na superfície é atmosférica dos dois lados, então não contribui.

Passo 10

Potência da bomba com eficiência de 75\% (parte c):
  • Vazão mássica:
\dot m=\rho Q = 971{,}8\cdot 0{,}00631667\approx 6{,}1390\\ \mathrm{kg/s}.
  • Potência hidráulica entregue ao fluido:
P_{hid}=\dot m \cdot g H = \dot m \cdot (gH)=6{,}1390\cdot 181{,}19\approx 1{,}1127\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.
  • Potência no eixo (considerando eficiência \eta=0{,}75):
P_{\text{motor}}=\frac{P_{hid}}{\eta}\approx \frac{1112{,}7}{0{,}75}\approx 1483{,}6\\ \mathrm{W}\approx 1{,}484\\ \mathrm{kW}.
Explicação: a eficiência da bomba é razão entre potência hidráulica sim e potência mecânica no eixo; se a bomba tem 75% de eficiência precisamos fornecer mais potência elétrica para o motor para suprir perdas.

Passo 11

Parte (d) — refazer usando curvas características da bomba, escolhendo rotação, rotor e potência:
Eu não tenho uma curva real fornecida no enunciado, então escolherei um conjunto plausível (método aceitável em provas quando se pede escolher uma bomba):
Escolha e justificativa:
  • Rotação: \;n=1.450\\ \mathrm{rpm} (padrão comercial para 50 Hz com motor 4 polos).
  • Diâmetro do impulsor (rotor): \;D_{imp}=150\\ \mathrm{mm} (escolha típica para pequena bomba centrífuga que dá vazões de algumas dezenas de \mathrm{m^3/h}).
  • Objetivo: procurar um ponto de operação (duty) próximo de Q=0{,}379\\ \mathrm{m^3/min}=22{,}74\\ \mathrm{m^3/h} e H\approx 18{,}47\\ \mathrm{m}.
  • Curva típica de bomba centrífuga (forma qualitativa): H(Q) decresce com Q. Vou escolher um modelo de bomba cujo ponto de melhor eficiência (BEP) seja aproximadamente neste par (Q,H) e cuja eficiência nominal seja \eta\approx 75\% naquele ponto; muitos fabricantes oferecem bombas com H na faixa 15 25\\ \mathrm{m} para essa vazão.
  • Potência: usando a curva (assumida) que dá H\approx 18{,}47\\ \mathrm{m} a Q=22{,}74\\ \mathrm{m^3/h} e eficiência \eta=0{,}75, a potência necessária é essencialmente a mesma que calculada no Passo 10:
P\approx 1{,}484\\ \mathrm{kW}.
  • Escolha comercial: como potência comercial usa-se um motor com folga, escolho um motor comercial de 2{,}2\\ \mathrm{kW} a 1{,}450\\ \mathrm{rpm} (motor padrão), acoplado a uma bomba com impulsor 150\\ \mathrm{mm}. Essa escolha deixa margem para variações de carga e pequenas discrepâncias entre a curva nominal e condições reais.
Explicação didática: a curva H(Q) e curva de eficiência permitem ajustar a rotação e o diâmetro do rotor via leis de afinidade (se alterar rotação ou diâmetro, Q e H mudam aproximadamente com potências de n e D). Eu escolhi uma bomba cuja curva comercial passe pelo ponto de operação calculado; usando essa curva o trabalho por kg e potência hidráulica batem com os números anteriores (pois a hidráulica não muda — cabe à bomba escolhida fornecer esse H a esse Q). Portanto o cálculo numérico de potência permanece como no passo anterior; a diferença é a escolha prática do motor (escolhi 2,2 kW para segurança).

Passo 12

Parte (e) — verificação de cavitação usando \mathrm{NPSH}_a e \mathrm{NPSH}_r:
  1. Cálculo da pressão de vapor da água a 82{,}2^\circ\mathrm{C} (usei a equação de Antoine — procedimento padrão em provas):
  • Usando constantes típicas de Antoine para água nesta faixa, obtive
p_v\approx 51{,}53\\ \mathrm{kPa}=51{,}529\\ \mathrm{Pa}.
  1. Cálculo de \mathrm{NPSH}_a (à entrada da bomba). Fórmula (para tanque aberto e tomando a superfície como referência):
\mathrm{NPSH}_a=\frac{p_{atm}}{\rho g} + z_{s} - h_{Ls} - \frac{v^2}{2g} - \frac{p_v}{\rho g}.
Aqui, z_s é a diferença de nível entre superfície livre do tanque e o eixo/olho da bomba; assumi z_s=0 (ou seja, bomba aproximadamente à mesma cota do nível livre) — se a bomba estivesse muito acima do nível do tanque a \mathrm{NPSH}_a diminuiria (pior para cavitação).
  • Pressão atmosférica padrão: p_{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
  • Convertendo termos (usando \rho e g do Passo 2):
\frac{p_{atm}}{\rho g}\approx \frac{101325}{971{,}8\cdot 9{,}81}\approx 10{,}631\\ \mathrm{m},
\frac{p_v}{\rho g}\approx \frac{51{,}529}{971{,}8\cdot 9{,}81}\approx 5{,}409\\ \mathrm{m}.
  • Já calculei h_{Ls}=h_{f,s}+h_{m,s}\approx 1{,}0057+0{,}6087=1{,}6144\\ \mathrm{m}.
  • Termo de velocidade v^2/(2g)\approx 0{,}4348\\ \mathrm{m}.
  • Assim
\mathrm{NPSH}_a\approx 10{,}631 - 1{,}6144 - 0{,}4348 - 5{,}409 \approx 3{,}173\\ \mathrm{m}.
  1. Valor de \mathrm{NPSH}_r (requerido): como escolhi uma bomba comercial plausível para esse ponto, um pitfall comum é que bombas pequenas podem ter \mathrm{NPSH}_r entre 1 e 4\\ \mathrm{m} dependendo do desenho. Para a bomba que escolhi (centrífuga, impulsor 150\\ \mathrm{mm}, 1{,}450\\ \mathrm{rpm}), um valor típico no ponto de operação seria
\mathrm{NPSH}_r\approx 2{,}0\\ \mathrm{m}\quad(\text{valor assumido típico/realista para esse tipo de bomba}).í
  1. Comparação e conclusão:
\mathrm{NPSH}_a - \mathrm{NPSH}_r \approx 3{,}17 - 2{,}0 = 1{,}17\\ \mathrm{m} >0,
ou seja, há margem positiva de aproximadamente 1{,}17\\ \mathrm{m}. Portanto, com as hipóteses feitas (bomba à mesma cota do tanque, K-values escolhidos, e \mathrm{NPSH}_r típico), a bomba NÃO deve cavitar. Observação importante: se a bomba estiver em posição elevada (sucção com “lift” negativo) ou se a \mathrm{NPSH}_r real do modelo da bomba for maior que 3{,}17\\ \mathrm{m}, então cavitação ocorrerá — por isso em projeto real deve-se conferir a curva do fabricante.

Resposta

a) Perdas por fricção totais h_{f,\text{total}} \approx 12{,}37\\ \mathrm{m} \;=\;121{,}3\\ \mathrm{J/kg}.
b) Altura total exigida pela bomba H\approx 18{,}47\\ \mathrm{m}. Trabalho de eixo por massa w\approx 181{,}2\\ \mathrm{J/kg}.
c) Potência necessária (eficiência 75\%) P\approx 1{,}484\\ \mathrm{kW}.
d) Escolha prática: bomba centrífuga a 1{,}450\\ \mathrm{rpm} com impulsor D_{imp}\approx 150\\ \mathrm{mm}; ponto de operação Q=22{,}74\\ \mathrm{m^3/h} ( 0{,}379\\ \mathrm{m^3/min}), H\approx 18{,}47\\ \mathrm{m}, eficiência \approx 75\%; potência calculada P\approx 1{,}484\\ \mathrm{kW} (sugestão de motor comercial: 2{,}2\\ \mathrm{kW} para margem).
e) \mathrm{NPSH}_a\approx 3{,}17\\ \mathrm{m}. Assumindo \mathrm{NPSH}_r típico da bomba \approx 2{,}0\\ \mathrm{m}, \mathrm{NPSH}_a>\mathrm{NPSH}_r (margem \approx 1{,}17\\ \mathrm{m}), logo não deve cavitar sob as hipóteses feitas.

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