Uma bomba recalca 69,1 \mathrm{gal} / \mathrm{min} de uma solução com densidade de 114,8 \mathrm{lb} / \mathrm{pe}^{3} para abastecer um tanque através de uma área de seção transversal de diâmetro nominal de 3,068 pol. A bomba descarrega esta vazão através de uma linha de 2,067 pol de diâmetro nominal, para um tanque aberto. O fim da linha de descarga está 50 pés acima do nível do líquido de alimentação do tanque. A perda por fricção na tubulação é \sum \mathrm{F}=10 pés.lbf/lb. A) Qual a pressão máxima e qual a potência em Hp da bomba, se a eficiência é de 65 \%. B) Refaça todos os cálculos usando as curvas características de bombas, verifique se há diferenças.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue.
Dados (peguei todos do enunciado):
\;Q = 69{,}1\\ \mathrm{gal/min} (vazão),
\;\rho = 114{,}8\\ \mathrm{lb/ft^{3}} (densidade da solução),
\;d_{\text{abertura}} = 3{,}068\\ \mathrm{in} (diâmetro nominal da área de seção de alimentação do tanque),
\;d_{\text{linha}} = 2{,}067\\ \mathrm{in} (diâmetro nominal da linha de descarga),
\;z = 50\\ \mathrm{ft} (elevação vertical entre a extremidade da linha de descarga e o nível do líquido do tanque de alimentação),
\;\sum F = 10\\ \mathrm{ft\cdot lbf / lb} (perda por fricção total dada),
e para o item A a eficiência da bomba \eta = 65\%.
O que o problema pede:
A) Calcular a pressão máxima fornecida pela bomba (pressão de recalque) e a potência requerida em \mathrm{hp} considerando \eta=65\%.
B) Repetir os cálculos usando as curvas características de bomba e verificar diferenças (nota: a curva não foi enviada no enunciado).
Observações adotadas (não pedi nada ao usuário; fiz suposições razoáveis):
  • Vou considerar que \rho = 114{,}8\\ \mathrm{lb/ft^{3}} é a massa específica em unidades comuns e, para obter a força por volume (peso específico \gamma), usarei a prática comum em problemas de engenharia hidráulica: trabalhar com \gamma diretamente como 114{,}8\\ \mathrm{lbf/ft^{3}} (ou seja, tratar esse valor como peso específico). Esta é a interpretação usual quando perdas e alturas vêm em pés de fluido.
  • A velocidade na superfície de alimentação é desprezível (tanque grande), portanto v_1\approx 0.
  • A perda por fricção \sum F é dada diretamente como cabeça (em pés) e será usada como h_f = 10\\ \mathrm{ft}.

Passo 2

Converter a vazão para unidades coerentes ( \mathrm{ft^{3}/s}) e explicar a fórmula.
Fórmula de conversão: 1 galão (EUA) = 0{,}133681\\ \mathrm{ft^{3}}. Logo
Q = 69{,}1\\ \mathrm{gal/min}\times 0{,}133681\\ \frac{\mathrm{ft^{3}}}{\mathrm{gal}}\times\frac{1}{60\\ \mathrm{s/min}}.
Calculemos passo a passo:
Q = 69{,}1 \times 0{,}133681 = 9{,}2373571\\ \mathrm{ft^{3}/min},
Q = \frac{9{,}2373571}{60} = 0{,}15395595\\ \mathrm{ft^{3}/s}.
Arredondando com precisão prática:
Q \approx 0{,}15396\\ \mathrm{ft^{3}/s}.

Passo 3

Converter diâmetros para pés, calcular áreas e velocidades. Mostrar fórmulas e explicações.
Converter polegadas para pés: 1\\ \mathrm{in}=1/12\\ \mathrm{ft}.
Para a abertura do tanque:
d_2 = 3{,}068\\ \mathrm{in} = \frac{3{,}068}{12}\\ \mathrm{ft} = 0{,}255667\\ \mathrm{ft}.
Área correspondente:
A_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (0{,}255667)^2}{4}.
Calculemos:
d_2^2 = 0{,}255667^2 = 0{,}065369\\ (aprox.),
A_2 = \frac{\pi\times 0{,}065369}{4} = 0{,}051352\\ \mathrm{ft^{2}}\\ (aprox.).
Velocidade de saída (na abertura do tanque):
v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0{,}15395595}{0{,}051352} \approx 2{,}997\\ \mathrm{ft/s}\\ (\approx 3{,}00\\ \mathrm{ft/s}).
Para a linha de descarga (tubo):
d_1 = 2{,}067\\ \mathrm{in} = \frac{2{,}067}{12}\\ \mathrm{ft} = 0{,}17225\\ \mathrm{ft}.
Área do tubo:
A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi (0{,}17225)^2}{4}.
Calculemos:
d_1^2 = 0{,}17225^2 = 0{,}02967\\ (aprox.),
A_1 = \frac{\pi\times 0{,}02967}{4} = 0{,}023296\\ \mathrm{ft^{2}}\\ (aprox.).
Velocidade no tubo:
v_1^{\text{tubo}} = \frac{Q}{A_1} = \frac{0{,}15395595}{0{,}023296} \approx 6{,}610\\ \mathrm{ft/s}.
Comentário didático curto: as velocidades servem para calcular a parcela cinética da energia (cabeça cinética), que aparece na equação de Bernoulli como \dfrac{v^2}{2g}.

Passo 4

Apresentar a equação de energia (Bernoulli com bomba) usada para obter a cabeça que a bomba deve prover; explicar cada termo.
Equação de energia (forma usuais para bombas, entre superfície livre de alimentação e saída para tanque aberto):
H_{\text{bomba}} = z + h_f + \frac{v_{2}^{2}}{2g} - \frac{v_{1}^{2}}{2g} + \frac{p_2-p_1}{\gamma},
onde
  • H_{\text{bomba}} é a cabeça (em pés) que a bomba deve fornecer,
  • z é a diferença de cota entre os pontos (em \mathrm{ft}),
  • h_f é a perda por fricção total (em \mathrm{ft}),
  • v_1, v_2 são velocidades nos pontos 1 e 2 (em \mathrm{ft/s}),
  • g = 32{,}174\\ \mathrm{ft/s^{2}},
  • p_1,p_2 são pressões nos pontos (em \mathrm{lbf/ft^{2}}),
  • \gamma é o peso específico do fluido (em \mathrm{lbf/ft^{3}}).
No nosso caso:
  • ambos os pontos são superfícies livres/tanques abertos → p_1=p_2 (pressão atmosférica) → termo de pressão zera;
  • a superfície de alimentação é grande → v_1\approx 0;
  • a perda por fricção é dada: h_f = 10\\ \mathrm{ft};
  • a elevação z = 50\\ \mathrm{ft};
  • a velocidade no ponto 2 (abertura do tanque) é v_2 \approx 2{,}997\\ \mathrm{ft/s}.
Portanto a fórmula simplifica para:
H_{\text{bomba}} = z + h_f + \frac{v_{2}^{2}}{2g}.

Passo 5

Calcular a cabeça cinética \dfrac{v_2^2}{2g}.
Use g = 32{,}174\\ \mathrm{ft/s^{2}}. Então
\frac{v_2^2}{2g} = \frac{(2{,}997)^2}{2\times 32{,}174}.
Calcule:
v_2^2 = 2{,}997^2 = 8{,}982\\ (aprox.),
\frac{v_2^2}{2g} = \frac{8{,}982}{64{,}348} \approx 0{,}1396\\ \mathrm{ft}.

Passo 6

Calcular a cabeça total fornecida pela bomba H_{\text{bomba}}.
H_{\text{bomba}} = z + h_f + \frac{v_2^2}{2g} = 50 + 10 + 0{,}1396 \approx 60{,}1396\\ \mathrm{ft}.
Arredondando convenientemente:
H_{\text{bomba}} \approx 60{,}14\\ \mathrm{ft}.
Comentário: essa é a altura de coluna de fluido que a bomba precisa vencer (cabeça), incluindo elevação, perdas por fricção e pequena parcela cinética.

Passo 7

Converter cabeça em pressão máxima (pressão de recalque) e explicar a relação.
Relação entre pressão e cabeça:
p = \gamma \, H,
onde \gamma é o peso específico do fluido. Como adotamos \gamma = 114{,}8\\ \mathrm{lbf/ft^{3}} (interpretação habitual neste tipo de exercício), temos
p = 114{,}8\\ \mathrm{lbf/ft^{3}}\times 60{,}1396\\ \mathrm{ft} = 6{,}906{,}09\\ \mathrm{lbf/ft^{2}}\\ (aprox.).
Converter para \mathrm{psi} (1 psi =1\\ \mathrm{lbf/in^{2}}=144\\ \mathrm{lbf/ft^{2}}):
p_{\text{psi}} = \frac{6{,}906{,}09}{144} \approx 47{,}96\\ \mathrm{psi}.
Portanto a pressão máxima (de recalque) desenvolvida pela bomba é aproximadamente \;47{,}96\\ \mathrm{psi}.

Passo 8

Calcular a potência hidráulica entregue ao fluido e a potência no eixo da bomba considerando eficiência.
Potência hidráulica (energia por unidade de tempo) dada por:
P_{\text{hid}} = \gamma\, Q\, H_{\text{bomba}},
onde Q em \mathrm{ft^{3}/s}, \gamma em \mathrm{lbf/ft^{3}} e H em \mathrm{ft} P_{\text{hid}} em \mathrm{ft\cdot lbf/s}.
Substituindo valores:
P_{\text{hid}} = 114{,}8\times 0{,}15395595\times 60{,}1396 \approx 1{,}062{,}0\\ \mathrm{ft\cdot lbf/s}.
(Observe que o produto dá cerca de 1{,}062{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{ft\cdot lbf/s}.)
Converter para \mathrm{hp}: 1\\ \mathrm{hp} = 550\\ \mathrm{ft\cdot lbf/s}. Então
P_{\text{hid, hp}} = \frac{1{,}062{,}0\times 10^{3}}{550} \approx 1{,}93\\ \mathrm{hp}.
Potência no eixo (considerando eficiência \eta=65\%):
P_{\text{eixo}} = \frac{P_{\text{hid}}}{\eta} = \frac{1{,}93}{0{,}65} \approx 2{,}97\\ \mathrm{hp}.

Passo 9

Resumo numérico (valores arredondados com sentido físico):
  • Cabeça requerida: \;H_{\text{bomba}}\approx 60{,}14\\ \mathrm{ft}.
  • Pressão máxima de recalque: \;p \approx 47{,}96\\ \mathrm{psi}.
  • Potência hidráulica entregue ao fluido: \;P_{\text{hid}}\approx 1{,}93\\ \mathrm{hp}.
  • Potência no eixo da bomba (com \eta=65\%): \;P_{\text{eixo}}\approx 2{,}97\\ \mathrm{hp}.

Passo 10

Item B — usar curvas características da bomba: impossibilidade prática e explicação do que seria feito.
Não é possível refazer numericamente os cálculos com as curvas características da bomba porque o enunciado não forneceu a curva (head versus vazão) nem seus pontos característicos. Para esclarecer pedagogicamente:
  • A curva da bomba dá H_{\text{bomba}}(Q) — a cabeça que a bomba fornece para cada vazão.
  • A curva do sistema (sistema hidráulico) dá H_{\text{sistema}}(Q) — normalmente H_{\text{sistema}}(Q)=z + h_f(Q) + \text{(termos cinéticos)}é, onde h_f varia com Q geralmente como kQ^2 para perda por fricção turbulenta numa tubulação.
  • O ponto de operação real é a interseção entre H_{\text{bomba}}(Q) e H_{\text{sistema}}(Q). Ao usar a curva da bomba, repetiríamos: traçar H_{\text{sistema}}(Q) (ou calcular via fórmula de perdas que depende de Q), encontrar Q_{\text{op}} de interseção e então calcular p e P.
  • Sem a curva da bomba ou uma fórmula explícita de h_f(Q) (apenas foi dado um valor de perda para a vazão específica), não dá para verificar diferenças nem recalcular a operação real.
Portanto a parte B não pode ser completada numericamente com os dados fornecidos; o que eu fiz no item A corresponde a usar o h_f conhecido e assumir que a bomba fornece a cabeça correspondente a essa vazão (isto é, foi assumido implicitamente que a bomba pode fornecer a cabeça calculada para o fluxo dado).

Resposta

A) Pressão máxima de recalque \approx 47{,}96\\ \mathrm{psi}. \nA) Potência no eixo com \eta=65\% \approx 2{,}97\\ \mathrm{hp}.
B) Não é possível refazer os cálculos usando curvas características da bomba porque a curva H(Q) da bomba (e/ou a relação h_f(Q)) não foi fornecida no enunciado.

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