Deseja-se amostrar os seguintes sinais usando um trem de impulsos com período de amostragem Ts, determine o intervalo de valores para Ts que evita a ocorrência de aliasing.
x(t)=e^-6 t u(t) * sen(W t)pi t

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede: “A gente tem o sinal
x(t)=e^-6tu(t);ast;sin(Wt)pi,t
e quer amostrar ele com período . Qual intervalo de evita aliasing?”
Conteúdo: transformada de Fourier, propriedade da convolução (no tempo vira produto na frequência) e Teorema de Amostragem de Nyquist. Vamos precisar:
  1. conhecer a transformada de cada parte,
  2. saber que convolução no tempo vira multiplicação no domínio de frequência,
  3. saber que pra não ter aliasing o espaçamento em frequência do trem de impulsos deve ser maior que duas vezes a maior frequência presente no sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o suporte em frequência de cada parte:
  1. E(Omega)=integral0^infty e^-6te^-jOmega tdt=16+jOmega tem transformada
FTtfracsin(Wt)pi t= 1,&|Omega|<= W, 0,&|Omega|>W
Isso é um espectro que decai mas nunca zera totalmente para .
2) é o sinc “normalizado” cuja transformada é o retângulo:

Passo 3

Como no tempo temos convolução, no domínio de frequência ocorre multiplicação:
X(Omega)=16+jOmegatimes 1,&|Omega|<= W, 0,&|Omega|>W
Ou seja, fora do intervalo , . Dentro de , o espectro é , mas só importa que não existe sinal para . Logo, o sinal efetivamente é “limitado” a .

Passo 4

Pelo Teorema de Amostragem, pra não ter aliasing precisamos que o espaçamento em frequência do trem de impulsos, que é 2piTs>2W Longrightarrow Ts, seja maior que . Então:
Não existe outro limite inferior além de .

Resposta

0 < Ts < piW

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