Deseja-se amostrar os seguintes sinais usando um trem de impulsos com período de amostragem
, determine o intervalo de valores para
que evita a ocorrência de aliasing.
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede: “A gente tem o sinal
e quer amostrar ele com período
. Qual intervalo de
evita aliasing?”
Conteúdo: transformada de Fourier, propriedade da convolução (no tempo vira produto na frequência) e Teorema de Amostragem de Nyquist. Vamos precisar:
Conteúdo: transformada de Fourier, propriedade da convolução (no tempo vira produto na frequência) e Teorema de Amostragem de Nyquist. Vamos precisar:
- conhecer a transformada de cada parte,
- saber que convolução no tempo vira multiplicação no domínio de frequência,
- saber que pra não ter aliasing o espaçamento em frequência do trem de impulsos deve ser maior que duas vezes a maior frequência presente no sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o suporte em frequência de cada parte:
-
tem transformada
Isso é um espectro que decai mas nunca zera totalmente para
.
2) é o sinc “normalizado” cuja transformada é o retângulo:
2)
Passo 3
Como no tempo temos convolução, no domínio de frequência ocorre multiplicação:
Ou seja, fora do intervalo
,
. Dentro de
, o espectro é
, mas só importa que não existe sinal para
. Logo, o sinal efetivamente é “limitado” a
.
Passo 4
Pelo Teorema de Amostragem, pra não ter aliasing precisamos que o espaçamento em frequência do trem de impulsos, que é
, seja maior que
. Então:
Não existe outro limite inferior além de
.