Qual é o limitante da taxa de amostragem f(em Hz) que permite a recuperação da resposta y(t), sem distorção a partir das amostras, do sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é dada por
h(t)=e^-2 t cos (3 t) u(t)
para a entrada
x(t)=200 sen(2 t) cos (3 t)

Passo 1

Então, o exercício diz o seguinte: temos um sistema LTI com resposta ao impulso
h(t)=e^-2tcos(3t),u(t)
e aplicamos nele a entrada
A pergunta é: qual a taxa de amostragem x(t)=200sen(2t),cos(3t), (em Hz) mínima que me garante que eu possa recuperar , a saída desse sistema, sem distorção?
Conteúdo: Teorema da amostragem de Nyquist–Shannon e análise de espectro de sinais periódicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o espectro de sen(A)cos(B)=tfrac12l[sen(A+B)+sen(A-B)r] . Usamos a identidade trigonométrica
Logo,
Então
Isso mostra que sen(2t)cos(3t) =tfrac12l[sen(5t)+sen(-t)r] =tfrac12l[sen(5t)-sen(t)r] só tem duas componentes de frequência:
  • x(t)=200cdottfrac12l[sen(5t)-sen(t)r] =100,sen(5t);-;100,sen(t) ,

Passo 3

Como o sistema é LTI, ele não gera novas frequências: a saída será combinação das mesmas senóides (cada uma escalonada e defasada), mas ainda só terá os picos em e rad/s. Ou seja, o espectro de é “band-limited” entre e rad/s.

Passo 4

Para recuperar um sinal “band-limited” sem sobreposição de espectros na amostragem, precisamos de
fs > 2,fmax,
onde fmax=omegamax2pi=52pi Hz é a maior frequência em Hz. Aqui a maior frequência angular é fs > 2;cdot;52pi =102pi =5piapprox1,59 Hz rad/s, que em Hz é
Logo

Resposta

A taxa de amostragem mínima é
boxedfs>5piapprox1,59 Hz

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