Qual é o limitante da taxa de amostragem
que permite a recuperação da resposta
, sem distorção a partir das amostras, do sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é dada por
para a entrada
Passo 1
Então, o exercício diz o seguinte: temos um sistema LTI com resposta ao impulso
e aplicamos nele a entrada
A pergunta é: qual a taxa de amostragem
(em Hz) mínima que me garante que eu possa recuperar
, a saída desse sistema, sem distorção?
Conteúdo: Teorema da amostragem de Nyquist–Shannon e análise de espectro de sinais periódicos.
Conteúdo: Teorema da amostragem de Nyquist–Shannon e análise de espectro de sinais periódicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o espectro de
. Usamos a identidade trigonométrica
Logo,
Então
Isso mostra que
só tem duas componentes de frequência:
-
, -
Passo 3
Como o sistema é LTI, ele não gera novas frequências: a saída
será combinação das mesmas senóides (cada uma escalonada e defasada), mas ainda só terá os picos em
e
rad/s. Ou seja, o espectro de
é “band-limited” entre
e
rad/s.
Passo 4
Para recuperar um sinal “band-limited” sem sobreposição de espectros na amostragem, precisamos de
onde
é a maior frequência em Hz. Aqui a maior frequência angular é
rad/s, que em Hz é
Logo
Resposta
A taxa de amostragem mínima é