Esboce os diagramas de Bode de módulo e fase do sistema linear invariante no tempo descrita pela função de transferência racinal com polos e , zero e ganho DC (ou seja, na frequência ) igual a -20 dB .
Passo 1
O enunciado pede para a gente “esboçar” (i.e. desenhar de maneira assintótica) os diagramas de Bode (módulo e fase) de um sistema LTI que tem:
Dois polos complexos conjugados em .
Um zero em .
Ganho em DC igual a .
Conteúdo envolvido: função de transferência, transformada de Laplace, Bode (uso de escalas logarítmicas, decibéis, ângulos), fatorização em pólos e zeros, ganho DC.
Vamos precisar de:
Montar a função de transferência .
Ajustar o ganho para que em dB seja .
Decompor em fatores simples para extrair frequências de quebra (breakpoints).
Desenhar os assintóticos de módulo e fase.
Passo 2
Primeiro, montamos a forma genérica:
Repare que . Aqui e
Logo
Passo 3
Agora achamos exigindo ganho DC de .
Ganho DC é . Em módulo:
Em decibéis isso é
Logo .
Então a função de transferência final é
Passo 4
Vamos aos breakpoints (frequências onde o ganho muda de inclinação):
Zero em 20log10|H(j1)|rm assim approx -20 dB (antes da quebra) : quebra em . Introduz +20 dB/década a partir daí.
Par de pólos de segunda ordem com e . Quebra principal em . Torna-se é a partir de 10 rad/s.
Assintoticamente, o módulo em dB:
Para : inclinação dB/déc (o ganho é constante em dB).
De a : inclinação dB/déc (soma: zero dá +20, pólos ainda não atuam).
Para : inclinação dB/déc (zero +20, pólos -40 → total -20).
Eixo de referência: em a magnitude vale aproximadamente
Passo 5
Agora a fase, somando contribuições:
Zero em : fase vai de a , em regime aproximadamente entre e .
Par de pólos em : cada pólo dá até , totalizando . A transição (de 0 a ) ocorre grosseiramente entre e .
Resumindo a fase total:
Muito baixo (): .
Entre e : começa a subir em direção a (metade do zero).
Perto de : .
Entre e : sobe até (zero completo).
Depois de : o par de pólos passa a “puxar” a fase para baixo, de descendo até (metade dos pólos) e depois para (zero) + (pólos) = final. Na prática fica em .