Esboce os diagramas de Bode de módulo e fase do sistema linear invariante no tempo descrita pela função de transferência racinal com polos p1=-5+j 5 raiz3 e p2=-5-j 5 raiz3, zero z=1 e ganho DC (ou seja, na frequência omega=0 ) igual a -20 dB .

Passo 1

O enunciado pede para a gente “esboçar” (i.e. desenhar de maneira assintótica) os diagramas de Bode (módulo e fase) de um sistema LTI que tem:
  • Dois polos complexos conjugados em .
  • Um zero em .
  • Ganho em DC igual a .
Conteúdo envolvido: função de transferência, transformada de Laplace, Bode (uso de escalas logarítmicas, decibéis, ângulos), fatorização em pólos e zeros, ganho DC.
Vamos precisar de:
  1. Montar a função de transferência .
  2. Ajustar o ganho para que em dB seja .
  3. Decompor em fatores simples para extrair frequências de quebra (breakpoints).
  4. Desenhar os assintóticos de módulo e fase.

Passo 2

Primeiro, montamos a forma genérica:
H(s) ;=; K,s - z(s - p1)(s - p2) ;=; K,s - 1(s - (-5 + j5raiz3))(s - (-5 - j5raiz3))
Repare que |p1|^2 = (-5)^2 + (5raiz3)^2 = 25 + 75 = 100 . Aqui (s-p1)(s-p2) = s^2 + 10,s + 100 e
Logo

Passo 3

Agora achamos |H(0)| = l|K,tfrac0-10^2+10cdot0+100r| = K100 exigindo ganho DC de 20log10!l(|H(0)|r) = -20 dB Longrightarrow |H(0)| = 10^-20/20 = 0,1 .
Ganho DC é boxedH(s) ;=; 10,s-1s^2 +10,s +100 . Em módulo:
Em decibéis isso é
Logo .
Então a função de transferência final é

Passo 4

Vamos aos breakpoints (frequências onde o ganho muda de inclinação):
  • Zero em 20log10|H(j1)|rm assim approx -20 dB (antes da quebra) : quebra em . Introduz +20 dB/década a partir daí.
  • Par de pólos de segunda ordem com e . Quebra principal em . Torna-se é a partir de 10 rad/s.
Assintoticamente, o módulo em dB:
  • Para : inclinação dB/déc (o ganho é constante em dB).
  • De a : inclinação dB/déc (soma: zero dá +20, pólos ainda não atuam).
  • Para : inclinação dB/déc (zero +20, pólos -40 → total -20).
Eixo de referência: em a magnitude vale aproximadamente

Passo 5

Agora a fase, somando contribuições:
  1. Zero em : fase vai de a , em regime aproximadamente entre e .
  2. Par de pólos em : cada pólo dá até , totalizando . A transição (de 0 a ) ocorre grosseiramente entre e .
Resumindo a fase total:
  • Muito baixo ( ): .
  • Entre e : começa a subir em direção a (metade do zero).
  • Perto de : .
  • Entre e : sobe até (zero completo).
  • Depois de : o par de pólos passa a “puxar” a fase para baixo, de descendo até (metade dos pólos) e depois para (zero) + (pólos) = final. Na prática fica em .

Resposta

Função de transferência:
H(s)=10,s-1s^2+10s+100
Diagrama de Bode (assintótico):
  1. Módulo (dB):
    • : dB, slope 0 dB/déc.
    • : sobe a dB, slope +20 dB/déc.
    • : slope dB/déc.
  2. Fase:
    • : .
    • : sobe a .
    • : .
    • : desce até .

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