Exercício 1: Esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) das seguintes funções de transferência.
Passo 1
Beleza, vamos desenhar os diagramas de Bode (magnitude em dB e fase em graus) da função
Isso faz parte de Frequência e Análise de Sistemas (Sinais e Sistemas / Controle). Para isso precisamos:
1) identificar zeros e polos (e se estão no semiplano esquerdo – LHP – ou direito – RHP);
2) achar as frequências de quebra (|s|=ω);
3) usar as regras de inclinação (±20 dB/dec por zero/polo);
4) montar a fase somando contribuições de cada zero/polo.
Passo 2
- Fatorando cada parte de
: - Zero em
(RHP!): contribui +20 dB/dec na magnitude acima de ω=1, mas empurra a fase para ‑90° no alto ganho. - Zero em
(LHP): contribui +20 dB/dec acima de ω=100, fase +90° a altas frequências. - Polo em
(LHP): contribui ‑20 dB/dec acima de ω=10, fase ‑90° alto. - Polo em
(LHP): contribui ‑20 dB/dec acima de ω=1000, fase ‑90° alto.
- Zero em
- Logo as frequências de quebra são
Passo 3
Montando o Bode de magnitude:
- Ganho inicial em ω→0:
2. Para ω<1 rad/s não entra nenhum zero/polo: curva plana em –40 dB (slope 0).
3. Em ω=1 nasce o zero RHP ⇒ a partir de 1 rad/s o slope vira +20 dB/dec.
4. Em ω=10 nasce o polo em 10 ⇒ a partir de 10 rad/s subtrai 20 dB/dec, ou seja, slope volta a 0 dB/dec.
5. Em ω=100 nasce o zero LHP ⇒ a partir de 100 rad/s slope = +20 dB/dec.
6. Em ω=1000 nasce o polo em 1000 ⇒ acima de 1000 rad/s slope = 0 dB/dec novamente.
Resumindo magnitude assintótica (valor aproximado em cada região):
- ω<1: –40 dB, slope 0
- 1<ω<10: sobe a +20 dB/dec → de –40 dB em ω=1 a –20 dB em ω=10
- 10<ω<100: plano em –20 dB, slope 0
- 100<ω<1000: sobe a +20 dB/dec → de –20 dB em ω=100 a 0 dB em ω=1000
- ω>1000: plano em 0 dB, slope 0
Passo 4
Agora a fase, aproximando por regiões de uma década antes e depois de cada quebra:
Cada LHP zero: +90° no alto; cada LHP polo: –90°; o zero RHP inverte sinal e dá –90° no alto.
Faixas típicas (começo de transição uma década antes, fim uma década depois):
Cada LHP zero: +90° no alto; cada LHP polo: –90°; o zero RHP inverte sinal e dá –90° no alto.
Faixas típicas (começo de transição uma década antes, fim uma década depois):
- ω<0.1: nenhuma contribuição → φ≈0°
- 0.1<ω<1: transição do zero em 1 (RHP) de 0° a –90°
- 1<ω<10: zero em 1 já em –90°, os demais ainda não entram → φ≈–90°
- 10<ω<100: entra polo em 10 (LHP), vai de 0 a –90° → somando dá de –90° a –180°
- 100<ω<1000: entra zero em 100 (LHP), soma +90° em uma década → sobe de –180° a –90°
- 1000<ω<10000: entra polo em 1000 (LHP), soma –90° → desce de –90° a –180°
- ω>10000: todas as fases estabilizadas: zero RHP –90°, zero LHP +90°, polos LHP –90° cada → total φ≈–180°
Entre cada faixa, a fase varia linearmente (≈45° por década de transição).
Resposta
Diagrama assintótico de Bode de
:
Magnitude (dB):
• ω<1: –40 dB, slope 0
• 1–10: +20 dB/dec até –20 dB em ω=10
• 10–100: –20 dB, slope 0
• 100–1000: +20 dB/dec até 0 dB em ω=1000
• ω>1000: 0 dB, slope 0
Magnitude (dB):
• ω<1: –40 dB, slope 0
• 1–10: +20 dB/dec até –20 dB em ω=10
• 10–100: –20 dB, slope 0
• 100–1000: +20 dB/dec até 0 dB em ω=1000
• ω>1000: 0 dB, slope 0
Fase (°):
• ω<0.1: 0°
• 0.1–1: decai de 0° a –90° (zero RHP)
• 1–10: ≈–90°
• 10–100: cai de –90° a –180° (polo 10)
• 100–1000: sobe de –180° a –90° (zero 100)
• 1000–10000: desce de –90° a –180° (polo 1000)
• ω>10000: φ≈–180°
• ω<0.1: 0°
• 0.1–1: decai de 0° a –90° (zero RHP)
• 1–10: ≈–90°
• 10–100: cai de –90° a –180° (polo 10)
• 100–1000: sobe de –180° a –90° (zero 100)
• 1000–10000: desce de –90° a –180° (polo 1000)
• ω>10000: φ≈–180°