Deseja-se calcular a temperatura no centro geométrico de uma embalagem cilíndrica ( 5 cm de diâmetro times 3 cm de comprimento) que contém uma amostra de alimento, inicialmente a 20^circ C, após um tratamento térmico de 30 minutos por imersão da embalagem em um fluido a 100^circ C. As propriedades termofísicas do alimento são: k=0,5 W / m K ; c=3,9 kJ / kg K e a densidade rho=950 kg / m^3. Despreze a resistência convectiva entre o meio de aquecimento e a superfície da embalagem.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura no centro de um alimento, inicialmente a 20^circC, contido num cilindro de raio R=0,025,m e comprimento L=0,03,m, imerso num fluido a 100^circC por t=30,min. Desprezando a resistência convectiva, assumimos a superfície do cilindro imediatamente à 100^circC. O conteúdo é condução transiente no interior de um cilindro com temperatura da superfície mantida constante. Vamos usar a solução analítica por separação de variáveis (série de Bessel) e reter somente o primeiro termo, pois costuma fornecer boa aproximação.

Passo 2

Calculamos a difusividade térmica do alimento:
alpha = krho,c = 0,5950 times 3900 approx 1,35times 10^-7 m^2/s

Passo 3

Definimos o número de Fourier radial:
Fo = alpha,tR^2 = 1,35times10^-7times(30times60)(0,025)^2 approx 0,389

Passo 4

A solução para a temperatura central T(0,t) em um cilindro de superfície mantida em Ts é
T(0,t)-TsTi-Ts = 4sumn=1^infty expl(-lambdan^2,For)lambdan,J1(lambdan),
onde lambdan são as raízes de J0(lambda)=0. Para aproximação de primeiro termo, usamos lambda1approx2,405 e J1(lambda1)approx0,5191.

Passo 5

Calculamos o primeiro termo da série:
expl(-lambda1^2,For) = expl(-2,405^2times0,389r) approx exp(-2,249) approx0,105,
4lambda1,J1(lambda1) = 42,405times0,5191 approx3,202
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T(0,t)-10020-100 approx 3,202times0,105 approx0,336

Passo 6

Desfazendo a dimensão:
T(0,t) =100 + (20-100)times0,336 approx100 - 26,9 approx73,1 ^circC

Resposta

A temperatura no centro geométrico após 30 minutos é aproximadamente 73,1^circC.

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