Esboce as seguintes curvas, indicando todos os pontos extremos relativos e pontos de inflexão:
c) f(x)=x^{3}-6 x^{2}+12 x-6

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce a curva e indique todos os pontos extremos relativos e os pontos de inflexão da função dada. A função fornecida é:
f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x-6.
Informações que temos explicitamente:
  • A expressão analítica de f(x).
  • Precisamos encontrar todos os extremos relativos (máximos e mínimos locais) e todos os pontos de inflexão (pontos onde a concavidade muda).
    Nenhuma outra informação (figura, restrição de domínio, etc.) foi dada, então trabalho com o domínio natural x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vou lembrar rapidamente do que usar para achar extremos relativos: calcular a derivada primeira f'(x), encontrar os pontos críticos onde f'(x)=0 ou onde f' não existe (aqui f' existe para todo x), e então usar o teste da derivada (ou o teste da segunda derivada) para classificar. Vou calcular a derivada termo a termo.
Calculemos f'(x). Derivando cada termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-6x^{2}\bigr)=-12x,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(12x\bigr)=12,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-6\bigr)=0.
Portanto,
f'(x)=3x^{2}-12x+12.

Passo 3

Agora vou resolver f'(x)=0 para encontrar pontos críticos. Primeiro fatoro f'(x):
f'(x)=3x^{2}-12x+12=3\bigl(x^{2}-4x+4\bigr)=3\bigl(x-2\bigr)^{2}.
Assim,
f'(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3\bigl(x-2\bigr)^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=2.
Então existe um único ponto crítico x=2. Vou analisar o sinal de f'(x) para entender monotonicidade e se há máximo/minimo.
Observe que \bigl(x-2\bigr)^{2}\ge 0 para todo x, e é igual a zero somente em x=2. Logo f'(x)=3(x-2)^{2}\ge 0 para todo x, e f'(x)>0 para x\ne2. Isso significa:
  • A função é crescente para x<2 (mais precisamente: estritamente crescente em cada intervalo que não contenha 2).
  • A função é crescente para x>2.
  • Em x=2 a derivada é 0 mas o sinal de f' não muda (fica positivo de ambos os lados). Portanto não há nem máximo nem mínimo relativo em x=2.
Resumo até aqui: não existem extremos relativos (nenhum máximo local nem mínimo local).

Passo 4

Agora procuro pontos de inflexão. A condição necessária para um ponto de inflexão é que a segunda derivada se anule (ou seja indefinida) e que haja troca de concavidade. Vou calcular a segunda derivada.
Derivando f'(x)=3x^{2}-12x+12:
f''(x)=6x-12=6\bigl(x-2\bigr).
Resolver f''(x)=0:
6\bigl(x-2\bigr)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=2.
Então a segunda derivada se anula em x=2. Agora verifico a troca de concavidade: escolho um ponto à esquerda de 2 (por exemplo x=1) e um à direita (por exemplo x=3):
f''(1)=6(1-2)=6(-1)=-6<0\quad\text{(concavidade para baixo à esquerda de 2)},à
f''(3)=6(3-2)=6>0\quad\text{(concavidade para cima à direita de 2)}.à
Como f'' muda de negativo para positivo ao atravessar x=2, há de fato uma mudança de concavidade: portanto x=2 é um ponto de inflexão.
Calcule o valor da função nesse ponto para obter as coordenadas do ponto de inflexão:
f(2)=2^{3}-6\cdot2^{2}+12\cdot2-6=(8-24+24-6)=2.
Logo o ponto de inflexão é (2,2). Note que esse ponto é também um ponto crítico (pois f'(2)=0), isto é, temos uma inflexão estacionária (tangente horizontal no ponto de inflexão).

Passo 5

Interpretação geométrica e comportamento da curva (para esboçar sem calculadora):
  • Como mostramos, f'(x)=3(x-2)^{2}\ge 0 com igualdade só em x=2. Assim a função é crescente em toda a reta real, com uma “lenta” variação (plano horizontal) exatamente em x=2.
  • A concavidade muda de côncava para baixo (à esquerda de x=2) para côncava para cima (à direita de x=2). Esse é o comportamento típico de uma cúbica com inflexão central.
  • Observação prática que facilita o esboço: reescrever f como um cubo deslocado. Note que
(x-2)^{3}=x^{3}-6x^{2}+12x-8,
então
f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x-6=(x-2)^{3}+2.
Isto mostra que o gráfico é o gráfico de y=x^{3} deslocado de 2 unidades para a direita (em x) e 2 unidades para cima (em y). O gráfico típico de y=x^{3} tem um ponto de inflexão na origem com tangente horizontal no caso de x^{3}, e aqui o ponto correspondente é (2,2).

Passo 6

Pontos auxiliares para desenhar (valores fáceis para plotagem):
f(0)=-6,\quad f(1)=1,\quad f(2)=2,\quad f(3)=3,\quad f(4)=10.
Esses pontos mostram a forma: passa por (0,-6), sobe para (1,1), atinge a “planura” em (2,2) (inflection com tangente horizontal) e segue subindo para (3,3) e (4,10). Use uma curva suave que é côncava para baixo antes de x=2 e côncava para cima depois.

Passo 7

Conclusão clara e curta (o que o enunciado pediu): não há extremos relativos; há um único ponto de inflexão em (2,2), que é um ponto de inflexão estacionário (tangente horizontal). Dica final: ao esboçar, desenhe eixos, marque os pontos citados e ligue com uma curva cubicamente suave que muda concavidade em x=2.

Resposta

Extremos relativos: nenhum.
Pontos de inflexão: (2,2) (ponto de inflexão com tangente horizontal).

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