Determine o deslocamento na extremidade livre:
Dados: \mathrm{E}=20000 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2} ; \mathrm{I}=10000 \mathrm{~cm}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o deslocamento na extremidade livre do viga em balanço (cantilever) mostrada na figura.
Dados fornecidos (peguei estes valores da figura e do enunciado):
  • Carga distribuída uniforme q = 5,4\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m} aplicada sobre os primeiros 2{,}0\\ \mathrm{m} a partir do apoio (peguei q e o comprimento carregado na imagem).
  • Comprimento total da viga L = 3{,}0\\ \mathrm{m} (peguei na imagem: trecho carregado de 2{,}0\\ \mathrm{m} + trecho livre de 1{,}0\\ \mathrm{m}).
  • Módulo de Young E = 20000\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2 (dado).
  • Momento de inércia I = 10000\\ \mathrm{cm}^4 (dado).
O que eu tenho que encontrar: a deflexão vertical y(L) na extremidade livre x=L. Vou tomar deslocamento positivo para cima; se o resultado for negativo significa deslocamento para baixo.

Passo 2

Escolha de método e coerência de unidades.
  • Método: usar a relação clássica da flexão por integração dupla do momento fletor:
E I\,\frac{d^2 y}{dx^2}=M(x),
integrar duas vezes e aplicar as condições de contorno do balanço: y(0)=0 e y'(0)=0 (apoio engastado). Esse método é direto e dá o deslocamento em qualquer seção; é o mais adequado aqui porque a carga é contínua e temos um trecho carregado e um trecho sem carga (outra alternativa seria usar funções singulares ou superposição, mas a integração direta é simples e didática).
  • Unidades: vou trabalhar em \mathrm{kN} e \mathrm{m}.
    Converter E e I para essas unidades: 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2,\qquad 1\\ \mathrm{cm}^4 = 10^{-8}\\ \mathrm{m}^4.Então E = 20000\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2 = 20000\times10^4\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 = 2{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2,
I = 10000\\ \mathrm{cm}^4 = 10000\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^4 = 1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^4.
Portanto
E I = 2{,}0\times10^{8}\times1{,}0\times10^{-4}=2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}^2 = 20000\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}^2.

Passo 3

Expressar o momento fletor M(x) ao longo da viga (coordenada x medida a partir do apoio, x=0 no engaste).
A carga q atua somente no trecho 0\le x\le a com a=2{,}0\\ \mathrm{m}. Para uma seção em x temos dois casos:
  • Para 0\le x\le a (seção dentro da região carregada): a parte à esquerda da seção está carregada por uma UDL de intensidade q sobre comprimento x. O momento fletor, obtido como momento da resultante q x aplicada ao seu centróide a x/2 da extremidade esquerda, é
M(x)=-\frac{q\,x^2}{2}.
(O sinal negativo indica momento que causa deflexão para baixo com convenção escolhida.)
  • Para a\le x\le L (seção à direita da região carregada, ou seja, inclui toda a carga q como um conjunto à esquerda): a resultante da UDL sobre 0\le s\le a é q a aplicada a a/2 do apoio; o momento na seção em x é
M(x)=-q a\left(x-\frac{a}{2}\right).
Resumo:
M(x)=\begin{cases} -\dfrac{q\,x^2}{2}, & 0\le x\le a,\\[6pt] - q a\!\left(x-\dfrac{a}{2}\right), & a\le x\le L. \end{cases}]

Passo 4

Integrar a equação de curvatura em cada região e aplicar condições de contorno e continuidade.
Equação básica:
E I\,y''(x)=M(x).
Região 1: 0\le x\le a.
E I\,y''(x)=-\frac{q\,x^2}{2}.
Integrando:
y'(x)=-\frac{q\,x^3}{6EI}+C_1.
Condição no engaste: y'(0)=0 implica C_1=0. Integrando novamente:
y(x)=-\frac{q\,x^4}{24EI}+C_2.
Condição no engaste: y(0)=0 C_2=0. Logo, para 0\le x\le a:
y(x)=-\frac{q\,x^4}{24EI}.
Região 2: a\le x\le L.
E I\,y''(x)=-q a\left(x-\frac{a}{2}\right) = -q a x + \frac{q a^2}{2}.
Integrando:
y'(x)=-\frac{q a x^2}{2EI}+\frac{q a^2 x}{2EI}+C_3.
A constante C_3 é obtida impondo continuidade de y'(x) em x=a. Do lado esquerdo y'(a^-)= -\dfrac{q a^3}{6EI}. Avaliando a expressão acima em x=a e igualando:
-\frac{q a^3}{6EI}=-\frac{q a a^2}{2EI}+\frac{q a^2 a}{2EI}+C_3 = C_3,
portanto
C_3=-\frac{q a^3}{6EI}.
Integrando mais uma vez:
y(x)=-\frac{q a x^3}{6EI}+\frac{q a^2 x^2}{4EI}-\frac{q a^3 x}{6EI}+C_4.
A constante C_4 é obtida impondo continuidade de y em x=a. Do lado esquerdo y(a^-)= -\dfrac{q a^4}{24EI}. Avaliando a expressão de y(x) em x=a:
y(a^+)= -\frac{q a^4}{6EI}+\frac{q a^4}{4EI}-\frac{q a^4}{6EI}+C_4 = -\frac{q a^4}{12EI}+C_4.
Igualando y(a^+)=y(a^-)
-\frac{q a^4}{12EI}+C_4 = -\frac{q a^4}{24EI}\quad\Rightarrow\quad C_4=\frac{q a^4}{24EI}.
Logo, para a\le x\le L:
y(x)=-\frac{q a x^3}{6EI}+\frac{q a^2 x^2}{4EI}-\frac{q a^3 x}{6EI}+\frac{q a^4}{24EI}.

Passo 5

Avaliar a deflexão na extremidade livre x=L. Substituir x=L na expressão da região 2:
y(L)=-\frac{q a L^3}{6EI}+\frac{q a^2 L^2}{4EI}-\frac{q a^3 L}{6EI}+\frac{q a^4}{24EI}.
Agora substituir os valores numéricos (tudo em \mathrm{kN} e \mathrm{m}):
q=5{,}4\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m},\quad a=2{,}0\\ \mathrm{m},\quad L=3{,}0\\ \mathrm{m},\quad EI=20000\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}^2.
Calcular cada termo (mostrando contas para aplicar no prova sem calculadora):
  • Primeiro termo:
\frac{q a L^3}{6EI}=\frac{5{,}4\cdot 2\cdot 3^3}{6\cdot20000}=\frac{5{,}4\cdot 54}{120000}=\frac{291{,}6}{120000}=0{,}00243\\ \mathrm{m}.
(com sinal negativo no resultado final)
  • Segundo termo:
\frac{q a^2 L^2}{4EI}=\frac{5{,}4\cdot 2^2\cdot 3^2}{4\cdot20000}=\frac{5{,}4\cdot 36}{80000}=\frac{194{,}4}{80000}=0{,}00243\\ \mathrm{m}.
  • Terceiro termo:
\frac{q a^3 L}{6EI}=\frac{5{,}4\cdot 2^3\cdot 3}{6\cdot20000}=\frac{5{,}4\cdot 24}{120000}=\frac{129{,}6}{120000}=0{,}00108\\ \mathrm{m}.
  • Quarto termo:
\frac{q a^4}{24EI}=\frac{5{,}4\cdot 2^4}{24\cdot20000}=\frac{5{,}4\cdot 16}{480000}=\frac{86{,}4}{480000}=0{,}00018\\ \mathrm{m}.
Somando com os sinais correspondentes:
y(L) = -0{,}00243 + 0{,}00243 -0{,}00108 + 0{,}00018 = -0{,}00090\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação e resultado prático.
  • O deslocamento encontrado é y(L)=-0{,}00090\\ \mathrm{m}. O sinal negativo indica deslocamento para baixo.
  • Em unidades mais usuais: |y(L)|=0{,}00090\\ \mathrm{m}=0{,}90\\ \mathrm{mm}. Ou seja, a extremidade livre afunda cerca de 0{,}9\\ \mathrm{mm}.
Força e ânimo: saiu pequeno — isso é normal com E grande e I razoável; está tudo consistente.

Resposta

-0,00090\\ \mathrm{m}

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