Deseja-se conhecer o comprimento de uma haste, efetuando-se para isto dez medidas obtendo-se os valores abaixo. Escreva a medida corretamente. Suponha que ES=0,01 cm.
i \mathrm{V}_{\mathrm{i}}(\mathrm{cm})
1 15,01
2 15,08
3 15,06
4 15,09
5 15,00
i \mathrm{V}_{\mathrm{i}}(\mathrm{cm})
6 15,07
7 15,02
8 14,98
9 15,00
10 15,00

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado):
  • Dados: dez medidas da mesma haste (em cm):
    V_1=15,01, V_2=15,08, V_3=15,06, V_4=15,09, V_5=15,00,
    V_6=15,07, V_7=15,02, V_8=14,98, V_9=15,00, V_{10}=15,00.
  • Informação sobre o instrumento: \mathrm{ES}=0,01\\ \text{cm}.
  • Pedido: “Escreva a medida corretamente.” Ou seja, estimar o valor da haste (melhor estimativa) e associar a incerteza adequada — apresentar a medida na forma “valor \pm incerteza”.

Passo 2

Calcular a média aritmética (melhor estimativa do valor da grandeza).
  • Fórmula da média para n medidas V_i:
\bar{V}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}V_i,
onde \bar{V} é a média (estimativa do comprimento) e n é o número de medidas.
  • Aqui n=10. Somando as medidas (usei os valores do enunciado):
\sum_{i=1}^{10}V_i = 150,31.
  • Portanto a média é
\bar{V}=\frac{150,31}{10}=15,031\\ \text{cm}.

Passo 3

Interpretação da média (curtinha e motivadora): a média é a melhor estimativa pontual quando os erros aleatórios têm média zero. Mas sozinha ela não diz o quão confiável é o valor — por isso precisamos da incerteza.

Passo 4

Calcular a dispersão das medidas: desvio padrão amostral s.
  • Fórmula do desvio padrão amostral:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(V_i-\bar{V})^{2}},
onde s é a estimativa da dispersão das medidas individuais em torno da média.
  • Calculei cada desvio V_i-\bar{V} e seus quadrados (mostro o somatório já pronto):
\sum_{i=1}^{10}(V_i-\bar{V})^{2}=0,014290.
  • Então
s=\sqrt{\frac{0,014290}{10-1}}=\sqrt{0,00158778}=0,03985\\ \text{cm}\quad(\text{aprox.}).

Passo 5

Calcular a incerteza padrão da média devido à variabilidade das medidas (componente A).
  • Fórmula (incerteza tipo A, erro padrão da média):
u_A=\frac{s}{\sqrt{n}},
onde u_A é a incerteza-padrão da média por amostragem.
  • Substituindo:
u_A=\frac{0,03985}{\sqrt{10}}=\frac{0,03985}{3,1623}=0,01260\\ \text{cm}\quad(\text{aprox.}).

Passo 6

Tratar a contribuição da resolução do instrumento (componente B).
  • Explicação didática: a escala tem sensibilidade \mathrm{ES}=0,01\\ \text{cm}. A leitura discreta implica que o erro de quantização pode assumir qualquer valor em \pm\mathrm{ES}/2 com distribuição aproximadamente uniforme. Para uma distribuição uniforme no intervalo [-a,a] a incerteza-padrão é a/\sqrt{3}. Aqui a=\mathrm{ES}/2.
  • Logo a incerteza tipo B associada à resolução é
u_B=\frac{\mathrm{ES}}{2\sqrt{3}}.
  • Substituindo \mathrm{ES}=0,01\\ \text{cm}:
u_B=\frac{0,01}{2\sqrt{3}}=\frac{0,01}{3,4641}=0,002887\\ \text{cm}\quad(\text{aprox.}).

Passo 7

Combinar as duas fontes de incerteza (A e B) para obter a incerteza padrão combinada.
  • Regra (se as fontes são independentes):
u_c=\sqrt{u_A^{2}+u_B^{2}},
onde u_c é a incerteza-padrão combinada.
  • Substituindo os valores:
u_c=\sqrt{(0,01260)^{2}+(0,002887)^{2}}=\sqrt{0,00015876+0,00000834}=0,01292\\ \text{cm}\quad(\text{aprox.}).

Passo 8

Obter a incerteza expandida (nível de confiança aproximado de 95%) e arredondamento final.
  • Para aproximadamente 95% de confiança usa-se o fator de expansão k=2:
U=k\,u_c=2\cdot 0,01292=0,02584\\ \text{cm}.
  • Regra prática de apresentação: arredonda-se a incerteza expandida para uma algarismo significativo (ou dois se o primeiro for 1) e ajusta-se o valor medido para a mesma ordem decimal.
  • Aqui U=0,02584\\ \text{cm} arredonda-se para 0,03\\ \text{cm} (uma cifra significativa).
  • A média \bar{V}=15,031\\ \text{cm} deve ser arredondada para a mesma casa decimal (centésimos): \bar{V}=15,03\\ \text{cm}.
  • Portanto a medida final, com k=2, fica
15,03\pm 0,03\\ \text{cm}\quad(\text{com nível de confiança} \approx 95\%).íç

Resposta

15,03\pm 0,03\\ \text{cm}

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