A tabela abaixo apresenta vinte medidas do volume de um tanque em metros cúbicos. Determine a medida final com cálculo dos erros para este conjunto de dados. Suponha que o erro sistemático neste caso equivale a 3 \% do valor médio +0,08 \mathrm{~m}^{3}
Medida Volume Medida Volume
1 18,46 11 18,29
2 18,55 12 18,12
3 18,47 13 18,47
4 18,48 14 18,18
5 18,62 15 18,46
6 18,47 16 18,75
7 18,16 17 18,51
8 18,42 18 18,87
9 18,55 19 18,52
10 18,47 20 18,48

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pedido: determinar a medida final do volume do tanque com o cálculo dos erros (erro aleatório e erro sistemático, e a combinação dos dois).
  • Dados: vinte medidas do volume (em \mathrm{m}^3): \begin{array}{llllllllll} 18,46,&18,55,&18,47,&18,48,&18,62,&18,47,&18,16,&18,42,&18,55,&18,47,\\\\ 18,29,&18,12,&18,47,&18,18,&18,46,&18,75,&18,51,&18,87,&18,52,&18,48 \end{array}
  • Informação extra sobre erro sistemático: vale 3\% do valor médio mais 0,08\\ \mathrm{m}^3. Ou seja, se \bar{x} for a média, o erro sistemático é 0{,}03\bar{x}+0{,}08\\ \mathrm{m}^3.

Passo 2

Calcular a média aritmética (valor central experimental). A média \bar{x} é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui n=20 e a soma das medidas é
\sum_{i=1}^{20} x_i = 369{,}30.
Logo
\bar{x}=\frac{369{,}30}{20}=18{,}465\\ \mathrm{m}^{3}.
Explicação curta (por que fazemos isso): a média é a melhor estimativa do valor verdadeiro quando as variações entre medidas são principalmente aleatórias; é a soma das medidas dividida pelo número de medidas.

Passo 3

Calcular a variabilidade das medidas (erro aleatório). Primeiro definimos a variância amostral:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Uma forma prática de calcular s^{2} é usar
s^{2}=\frac{1}{n-1}\Bigg(\sum_{i=1}^{n} x_i^{2} - n\bar{x}^{2}\Bigg).
Isto evita calcular duas vezes muitas diferenças. Aqui já calculei
\sum_{i=1}^{20} x_i^{2}=6819{,}7398.

Passo 4

Aplicar a fórmula da variância amostral e obter o desvio padrão amostral s:
s^{2}=\frac{1}{20-1}\Big(6819{,}7398 - 20\cdot(18{,}465)^{2}\Big).
Calculemos 20\cdot(18{,}465)^{2}:
(18{,}465)^{2}=340{,}956225,\qquad 20\cdot(18{,}465)^{2}=6819{,}1245.
Portanto
s^{2}=\frac{1}{19}\big(6819{,}7398-6819{,}1245\big)=\frac{0{,}6153}{19}=0{,}032384\ldots
e o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}\approx0{,}1799\\ \mathrm{m}^{3}.
Didática: s mede a dispersão típica das medidas individuais em torno da média.

Passo 5

Converter o desvio padrão das medidas em erro aleatório da média (erro tipo A). O erro aleatório (incerteza padrão da média) é o desvio padrão da média:
u_{\text{aleatório}}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}1799}{\sqrt{20}}.ó
Como \sqrt{20}\approx4{,}4721, obtemos
u_{\text{aleatório}}\approx0{,}0402\\ \mathrm{m}^{3}.ó
Explicação: ao fazer n medidas independentes, a incerteza da média diminui como 1/\sqrt{n}.

Passo 6

Calcular o erro sistemático (dado pelo enunciado). O enunciado define o erro sistemático como 3\% do valor médio mais 0,08\\ \mathrm{m}^{3}. Assim
u_{\text{sist}}=0{,}03\bar{x}+0{,}08=0{,}03\cdot18{,}465+0{,}08.
Calculando:
0{,}03\cdot18{,}465=0{,}55395,
portanto
u_{\text{sist}}\approx0{,}55395+0{,}08=0{,}63395\\ \mathrm{m}^{3}\approx0{,}6340\\ \mathrm{m}^{3}.
Comentário didático: erro sistemático representa um viés que não diminui com o número de medidas; por isso geralmente é tratado separadamente.

Passo 7

Combinar as incertezas aleatória e sistemática para obter a incerteza total. Quando as componentes são independentes, a incerteza combinada é obtida por soma quadrática (raiz da soma dos quadrados):
u_{\text{total}}=\sqrt{u_{\text{aleatório}}^{2}+u_{\text{sist}}^{2}}.ó
Substituindo os valores:
u_{\text{total}}=\sqrt{(0{,}0402)^{2}+(0{,}63395)^{2}} \approx\sqrt{0{,}00162+0{,}4019} \approx\sqrt{0{,}40352} \approx0{,}6352\\ \mathrm{m}^{3}.
Interpretação: o erro sistemático domina neste caso (é muito maior que o erro aleatório), por isso a incerteza total fica praticamente igual ao erro sistemático.

Passo 8

Arredondamento e apresentação final adequada. Regras práticas:
  • A incerteza costuma ser arredondada para 1 ou 2 algarismos significativos.
  • O valor medido é apresentado com o mesmo número de casas decimais da incerteza.
Aqui u_{\text{total}}\approx0{,}6352\\ \mathrm{m}^{3}. Vou manter duas cifras significativas na incerteza: 0{,}64\\ \mathrm{m}^{3}. Então a média \bar{x}=18{,}465 deve ser arredondada para a mesma casa decimal (centésimos), dando 18{,}47\\ \mathrm{m}^{3}.
Também listo as componentes (arredondadas de forma consistente):
u_{\text{aleatório}}\approx0{,}040\\ \mathrm{m}^{3},\qquad u_{\text{sist}}\approx0{,}634\\ \mathrm{m}^{3}.ó

Resposta

Valor final: 18{,}47\pm0{,}64\\ \mathrm{m}^{3}
Erro aleatório (incerteza da média): 0{,}040\\ \mathrm{m}^{3}
Erro sistemático: 0{,}634\\ \mathrm{m}^{3}

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