A tabela abaixo apresenta vinte medidas do volume de um tanque em metros cúbicos. Determine a medida final com cálculo dos erros para este conjunto de dados. Suponha que o erro sistemático neste caso equivale a
do valor médio
Medida
Volume
Medida
Volume
1
18,46
11
18,29
2
18,55
12
18,12
3
18,47
13
18,47
4
18,48
14
18,18
5
18,62
15
18,46
6
18,47
16
18,75
7
18,16
17
18,51
8
18,42
18
18,87
9
18,55
19
18,52
10
18,47
20
18,48
| Medida | Volume | Medida | Volume |
| 1 | 18,46 | 11 | 18,29 |
| 2 | 18,55 | 12 | 18,12 |
| 3 | 18,47 | 13 | 18,47 |
| 4 | 18,48 | 14 | 18,18 |
| 5 | 18,62 | 15 | 18,46 |
| 6 | 18,47 | 16 | 18,75 |
| 7 | 18,16 | 17 | 18,51 |
| 8 | 18,42 | 18 | 18,87 |
| 9 | 18,55 | 19 | 18,52 |
| 10 | 18,47 | 20 | 18,48 |
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pedido: determinar a medida final do volume do tanque com o cálculo dos erros (erro aleatório e erro sistemático, e a combinação dos dois).
- Dados: vinte medidas do volume (em
): - Informação extra sobre erro sistemático: vale
do valor médio mais . Ou seja, se for a média, o erro sistemático é .
Passo 2
Calcular a média aritmética (valor central experimental). A média
é dada por
Aqui
e a soma das medidas é
Logo
Explicação curta (por que fazemos isso): a média é a melhor estimativa do valor verdadeiro quando as variações entre medidas são principalmente aleatórias; é a soma das medidas dividida pelo número de medidas.
Passo 3
Calcular a variabilidade das medidas (erro aleatório). Primeiro definimos a variância amostral:
Uma forma prática de calcular
é usar
Isto evita calcular duas vezes muitas diferenças. Aqui já calculei
Passo 4
Aplicar a fórmula da variância amostral e obter o desvio padrão amostral
:
Calculemos
:
Portanto
e o desvio padrão amostral é
Didática:
mede a dispersão típica das medidas individuais em torno da média.
Passo 5
Converter o desvio padrão das medidas em erro aleatório da média (erro tipo A). O erro aleatório (incerteza padrão da média) é o desvio padrão da média:
Como
, obtemos
Explicação: ao fazer
medidas independentes, a incerteza da média diminui como
.
Passo 6
Calcular o erro sistemático (dado pelo enunciado). O enunciado define o erro sistemático como
do valor médio mais
. Assim
Calculando:
portanto
Comentário didático: erro sistemático representa um viés que não diminui com o número de medidas; por isso geralmente é tratado separadamente.
Passo 7
Combinar as incertezas aleatória e sistemática para obter a incerteza total. Quando as componentes são independentes, a incerteza combinada é obtida por soma quadrática (raiz da soma dos quadrados):
Substituindo os valores:
Interpretação: o erro sistemático domina neste caso (é muito maior que o erro aleatório), por isso a incerteza total fica praticamente igual ao erro sistemático.
Passo 8
Arredondamento e apresentação final adequada. Regras práticas:
- A incerteza costuma ser arredondada para 1 ou 2 algarismos significativos.
- O valor medido é apresentado com o mesmo número de casas decimais da incerteza.
Aqui
. Vou manter duas cifras significativas na incerteza:
. Então a média
deve ser arredondada para a mesma casa decimal (centésimos), dando
.
Também listo as componentes (arredondadas de forma consistente):
Resposta
Valor final:
Erro aleatório (incerteza da média):
Erro sistemático:
Erro aleatório (incerteza da média):
Erro sistemático: