Deseja-se construir uma adutora de água bruta, cujo manancial apresenta N.A. mínimo à cota 1.020,1 \mathrm{~m}, para abastecer um reservatório construído à cota 1.002,2 \mathrm{~m}, com extravasor instalado 3,0 \mathrm{~m} acima. A adutora apresenta 2,2 \mathrm{~km} de extensão e ao longo do traçado há uma elevação situada à cota 1.013,8 \mathrm{~m}, que dista 1,5 \mathrm{~km} do manancial (em termos de comprimento da adutora). Determinara a dimensão mais econômica da adutora que assegure o escoamento adequado de uma vazão de 65 \mathrm{l} / \mathrm{s}.
Dados: \quad \mathrm{f}=0,019
Diâmetros disponíveis (\mathrm{mm})=150,175,200,225,250,275,300,350 e 400
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
Nível mínimo do manancial (cota do manancial): z_s=1{.}020{,}1\\ \mathrm{m}.
Reservatório à cota 1{.}002{,}2\\ \mathrm{m} com extravasor instalado 3{,}0\\ \mathrm{m} acima. Logo a cota do bico de extravasão (crest) é z_{ext}=1{.}002{,}2+3{,}0=1{.}005{,}2\\ \mathrm{m}.
Extensão da adutora: L=2{.}200\\ \mathrm{m}.
Ao longo da adutora há uma elevação a 1{.}013{,}8\\ \mathrm{m}, localizada a 1{,}5\\ \mathrm{km} do manancial (essa informação foi anotada; não impede o escoamento porque 1{.}013{,}8<1{.}020{,}1 — servirá apenas para checar níveis se necessário).
Diâmetros comerciais disponíveis (em mm): 150,\,175,\,200,\,225,\,250,\,275,\,300,\,350,\,400.
O que o enunciado pede:
Determinar a dimensão (diâmetro interno) mais econômica da adutora que assegure o escoamento da vazão Q apenas por gravidade (sem bombeamento).
Observação importante (decisão que tomarei para resolver): vou considerar o escoamento a plena tubulação (tubulação cheia) e usar a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito ao longo do comprimento. Vou desprezar perdas localizadas (entrada, vazão pelo extravasor, curvas, etc.) por falta de dados específicos; isso é uma hipótese comum em exercícios para obter a dimensão principal. Se fosse um projeto real, somariam-se perdas localizadas e segurança.
Passo 2
Determinar a cabeça disponível para vencer as perdas por atrito.
A cabeça disponível (diferença de cota entre o manancial e o extravasor) é
\Delta z = z_s - z_{ext}.
Substituindo:
\Delta z = 1{.}020{,}1 - 1{.}005{,}2 = 14{,}9\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o motor energético disponível para vencer as perdas na tubulação é 14{,}9\\ \mathrm{m} de coluna d’água. Para que a água flua por gravidade até o extravasor, a perda total na adutora deve ser menor ou igual a essa cabeça disponível.
Passo 3
Relembrando a fórmula que vamos usar (aula rápida e amigável).
Para tubulação cheia, a perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach) ao longo do comprimento é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
h_f é a perda de carga por atrito (m),
f é o fator de atrito (adimensional) fornecido,
L é o comprimento da tubulação (m),
D é o diâmetro interno da tubulação (m),
V é a velocidade média do fluido na tubulação (m/s),
g é a aceleração da gravidade (9{.}81\\ \mathrm{m/s^2}).
A velocidade V relaciona-se com a vazão Q por
V=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^2},
onde A=\pi D^2/4 é a área da secção.
Substituindo V em h_f obtemos uma expressão na forma h_f=\dfrac{C}{D^5} (muito útil para calcular rápido para vários diâmetros). Vamos obter essa constante C.
Passo 4
Derivar a expressão prática h_f=C/D^5 e calcular a constante C.
h_f\approx\frac{0{.}014588}{D^5}\quad\text{(com \(D\) em metros)}.
Passo 5
Calcular h_f para cada diâmetro comercial e comparar com a cabeça disponível \Delta z=14{,}9\\ \mathrm{m}. Vou calcular D^5 e h_f para cada diâmetro (converto mm \to m: D_{\mathrm{m}}=D_{\mathrm{mm}}/1000).
Comparar as perdas calculadas com a cabeça disponível e decidir a menor tubulação que assegura o escoamento.
Condição necessária para escoamento: h_f \le \Delta z = 14{.}9\\ \mathrm{m}.
Observando os valores:
Para D\le 225\\ \mathrm{mm} as perdas h_f são muito maiores que 14{.}9\\ \mathrm{m} → não atendem.
Para D=250\\ \mathrm{mm}, h_f\approx14{.}94\\ \mathrm{m}, que é praticamente igual à cabeça disponível; por aproximações numéricas essa opção fica muito no limite (para ser prático, isso significa quase nenhum folga — qualquer perda local ou ligeira variação reduziria o escoamento).
Para D=275\\ \mathrm{mm}, h_f\approx9{.}28\\ \mathrm{m}<14{.}9\\ \mathrm{m} → atende com folga confortável.
Diâmetros maiores também atendem, mas serão mais caros.
Comentário de engenharia e escolha econômica:
“Mais econômica” significa escolher o menor diâmetro comercial que satisfaça a condição de escoamento, considerando segurança frente a perdas locais não calculadas aqui. Como D=250\\ \mathrm{mm} dá uma perda praticamente igual à cabeça disponível (muito no limite), em um projeto real não se adotaria esse valor pois não há margem para perdas locais, assentamento, incrustação futura, etc.
Portanto a escolha prática e mais econômica, garantindo folga para perdas locais e variações, é D=275\\ \mathrm{mm}.
Passo 7
Calcular velocidade correspondente ao diâmetro escolhido (para informação prática) e checar motivo.
Velocidade de cerca de 1{,}09\\ \mathrm{m/s} é confortável para adutoras de água (nem muito alta, nem muito baixa do ponto de vista de limpeza e transporte de sedimentos).