Deseja-se construir uma adutora de água bruta, cujo manancial apresenta N.A. mínimo à cota 1.020,1 \mathrm{~m}, para abastecer um reservatório construído à cota 1.002,2 \mathrm{~m}, com extravasor instalado 3,0 \mathrm{~m} acima. A adutora apresenta 2,2 \mathrm{~km} de extensão e ao longo do traçado há uma elevação situada à cota 1.013,8 \mathrm{~m}, que dista 1,5 \mathrm{~km} do manancial (em termos de comprimento da adutora). Determinara a dimensão mais econômica da adutora que assegure o escoamento adequado de uma vazão de 65 \mathrm{l} / \mathrm{s}.
Dados: \quad \mathrm{f}=0,019
Diâmetros disponíveis (\mathrm{mm})=150,175,200,225,250,275,300,350 e 400

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (pegos do enunciado):
    • Nível mínimo do manancial (cota do manancial): z_s=1{.}020{,}1\\ \mathrm{m}.
    • Reservatório à cota 1{.}002{,}2\\ \mathrm{m} com extravasor instalado 3{,}0\\ \mathrm{m} acima. Logo a cota do bico de extravasão (crest) é z_{ext}=1{.}002{,}2+3{,}0=1{.}005{,}2\\ \mathrm{m}.
    • Extensão da adutora: L=2{.}200\\ \mathrm{m}.
    • Ao longo da adutora há uma elevação a 1{.}013{,}8\\ \mathrm{m}, localizada a 1{,}5\\ \mathrm{km} do manancial (essa informação foi anotada; não impede o escoamento porque 1{.}013{,}8<1{.}020{,}1 — servirá apenas para checar níveis se necessário).
    • Vazão desejada: Q=65\\ \mathrm{L/s}=0{.}065\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Coeficiente de atrito: f=0{.}019.
    • Diâmetros comerciais disponíveis (em mm): 150,\,175,\,200,\,225,\,250,\,275,\,300,\,350,\,400.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a dimensão (diâmetro interno) mais econômica da adutora que assegure o escoamento da vazão Q apenas por gravidade (sem bombeamento).
Observação importante (decisão que tomarei para resolver): vou considerar o escoamento a plena tubulação (tubulação cheia) e usar a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito ao longo do comprimento. Vou desprezar perdas localizadas (entrada, vazão pelo extravasor, curvas, etc.) por falta de dados específicos; isso é uma hipótese comum em exercícios para obter a dimensão principal. Se fosse um projeto real, somariam-se perdas localizadas e segurança.

Passo 2

Determinar a cabeça disponível para vencer as perdas por atrito.
  • A cabeça disponível (diferença de cota entre o manancial e o extravasor) é
\Delta z = z_s - z_{ext}.
Substituindo:
\Delta z = 1{.}020{,}1 - 1{.}005{,}2 = 14{,}9\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o motor energético disponível para vencer as perdas na tubulação é 14{,}9\\ \mathrm{m} de coluna d’água. Para que a água flua por gravidade até o extravasor, a perda total na adutora deve ser menor ou igual a essa cabeça disponível.

Passo 3

Relembrando a fórmula que vamos usar (aula rápida e amigável).
  • Para tubulação cheia, a perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach) ao longo do comprimento é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga por atrito (m),
  • f é o fator de atrito (adimensional) fornecido,
  • L é o comprimento da tubulação (m),
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m),
  • V é a velocidade média do fluido na tubulação (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{.}81\\ \mathrm{m/s^2}).
  • A velocidade V relaciona-se com a vazão Q por
V=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^2},
onde A=\pi D^2/4 é a área da secção.
  • Substituindo V em h_f obtemos uma expressão na forma h_f=\dfrac{C}{D^5} (muito útil para calcular rápido para vários diâmetros). Vamos obter essa constante C.

Passo 4

Derivar a expressão prática h_f=C/D^5 e calcular a constante C.
  • Começando com
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}\left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2.
  • Simplificando os termos quadráticos:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}\cdot\frac{16Q^2}{\pi^2 D^4} = \underbrace{\frac{f L 8 Q^2}{g\pi^2}}_{C}\cdot\frac{1}{D^5}.
  • Logo
h_f=\frac{C}{D^5},
com
C=\frac{f L 8 Q^2}{g\pi^2}.
Agora calculo numericamente C usando os dados:
  • f=0{.}019, L=2200\\ \mathrm{m}, Q=0{.}065\\ \mathrm{m^3/s}, g=9{.}81\\ \mathrm{m/s^2}, \pi^2\approx9{.}8696044.
Calcule passo a passo:
Q^2=(0{.}065)^2=0{.}004225\\ \mathrm{(m^6/s^2)}.
8Q^2=8\times0{.}004225=0{.}0338.
L\cdot 8Q^2 = 2200\times0{.}0338 = 74{.}36.
f L 8 Q^2 = 0{.}019\times74{.}36=1{.}41284.
g\pi^2 \approx 9{.}81\times9{.}8696044 \approx 96{.}8208.
C=\frac{1{.}41284}{96{.}8208}\approx 0{.}014588.
Portanto
h_f\approx\frac{0{.}014588}{D^5}\quad\text{(com \(D\) em metros)}.

Passo 5

Calcular h_f para cada diâmetro comercial e comparar com a cabeça disponível \Delta z=14{,}9\\ \mathrm{m}. Vou calcular D^5 e h_f para cada diâmetro (converto mm \to m: D_{\mathrm{m}}=D_{\mathrm{mm}}/1000).
  1. D=150\\ \mathrm{mm}=0{.}150\\ \mathrm{m}.
D^5=(0{.}150)^5=0{.}0000759375,
h_f=\frac{0{.}014588}{0{.}0000759375}\approx 192{.}1\\ \mathrm{m}.
  1. D=175\\ \mathrm{mm}=0{.}175\\ \mathrm{m}.
D^5\approx0{.}00016313136, \quad h_f\approx\frac{0{.}014588}{0{.}00016313136}\approx 89{.}4\\ \mathrm{m}.
  1. D=200\\ \mathrm{mm}=0{.}200\\ \mathrm{m}.
D^5=0{.}00032, \quad h_f=\frac{0{.}014588}{0{.}00032}\approx 45{.}6\\ \mathrm{m}.
  1. D=225\\ \mathrm{mm}=0{.}225\\ \mathrm{m}.
D^5\approx0{.}00057665, \quad h_f\approx\frac{0{.}014588}{0{.}00057665}\approx 25{.}3\\ \mathrm{m}.
  1. D=250\\ \mathrm{mm}=0{.}250\\ \mathrm{m}.
D^5=0{.}0009765625, \quad h_f=\frac{0{.}014588}{0{.}0009765625}\approx 14{.}94\\ \mathrm{m}.
  1. D=275\\ \mathrm{mm}=0{.}275\\ \mathrm{m}.
D^5\approx0{.}00157276, \quad h_f\approx\frac{0{.}014588}{0{.}00157276}\approx 9{.}28\\ \mathrm{m}.
  1. D=300\\ \mathrm{mm}=0{.}300\\ \mathrm{m}.
D^5=0{.}00243, \quad h_f=\frac{0{.}014588}{0{.}00243}\approx 6{.}00\\ \mathrm{m}.
  1. D=350\\ \mathrm{mm}=0{.}350\\ \mathrm{m}.
D^5\approx0{.}00525219, \quad h_f\approx\frac{0{.}014588}{0{.}00525219}\approx 2{.}78\\ \mathrm{m}.
  1. D=400\\ \mathrm{mm}=0{.}400\\ \mathrm{m}.
D^5=0{.}01024, \quad h_f=\frac{0{.}014588}{0{.}01024}\approx 1{.}425\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Comparar as perdas calculadas com a cabeça disponível e decidir a menor tubulação que assegura o escoamento.
  • Condição necessária para escoamento: h_f \le \Delta z = 14{.}9\\ \mathrm{m}.
  • Observando os valores:
    • Para D\le 225\\ \mathrm{mm} as perdas h_f são muito maiores que 14{.}9\\ \mathrm{m} → não atendem.
    • Para D=250\\ \mathrm{mm}, h_f\approx14{.}94\\ \mathrm{m}, que é praticamente igual à cabeça disponível; por aproximações numéricas essa opção fica muito no limite (para ser prático, isso significa quase nenhum folga — qualquer perda local ou ligeira variação reduziria o escoamento).
    • Para D=275\\ \mathrm{mm}, h_f\approx9{.}28\\ \mathrm{m}<14{.}9\\ \mathrm{m} → atende com folga confortável.
    • Diâmetros maiores também atendem, mas serão mais caros.
Comentário de engenharia e escolha econômica:
  • “Mais econômica” significa escolher o menor diâmetro comercial que satisfaça a condição de escoamento, considerando segurança frente a perdas locais não calculadas aqui. Como D=250\\ \mathrm{mm} dá uma perda praticamente igual à cabeça disponível (muito no limite), em um projeto real não se adotaria esse valor pois não há margem para perdas locais, assentamento, incrustação futura, etc.
  • Portanto a escolha prática e mais econômica, garantindo folga para perdas locais e variações, é D=275\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Calcular velocidade correspondente ao diâmetro escolhido (para informação prática) e checar motivo.
  • Para D=275\\ \mathrm{mm}=0{.}275\\ \mathrm{m},
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{.}275)^2}{4}\approx 0{.}05945\\ \mathrm{m^2}.
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{.}065}{0{.}05945}\approx 1{.}093\\ \mathrm{m/s}.
Velocidade de cerca de 1{,}09\\ \mathrm{m/s} é confortável para adutoras de água (nem muito alta, nem muito baixa do ponto de vista de limpeza e transporte de sedimentos).

Resposta

275 mm

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