Considere um reator tubular com recheio (PBR) que processa a reação \mathrm{A} \rightarrow 1 / 2 \mathrm{~B} isotermicamente. A lei de velocidade é elementar. A pressão de projeto na saída do reator é de 10 atm e a conversão é de 80 \%. Por motivos ignorados, o engenheiro responsável pelo processo constatou que a conversão de saída atual é de 50 \%. Considerando que o produto ( \mathrm{W} \alpha ), onde W é a massa de catalisador, é constante em qualquer situação, identifique e quantifique os motivos desta diminuição da conversão, sabendo que:
\varepsilon \mathrm{x} \ll 1 somente para a equação da perda de carga
\alpha (projeto) =5,122 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}
k (na temperatura de operação) =3,11 (unidade adequada)
\mathrm{F}_{\mathrm{Ao}}=100 \mathrm{~mol} / \mathrm{s} (foi confirmado este valor quando se observou a mudança de conversão)
\mathrm{C}_{\mathrm{Ao}}=0,3 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
\mathrm{P}_{\mathrm{o}}=50 \mathrm{~atm} (foi confirmado este valor quando se observou a mudança de conversão)
\beta= constante em qualquer situação investigada.
Resposta: A vazão volumétrica de alimentação dobrou o seu valor em 333,3 \mathrm{~L} / \mathrm{s}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados disponíveis.
  • Pedido: identificar e quantificar as causas da queda da conversão de saída de 80\% (projeto) para 50\% (situação observada), assumindo que o produto W\alpha (onde W é a massa de catalisador e \alpha é uma constante de atividade) é constante entre projeto e operação atual.
  • Dados fornecidos:
    • reação: \mathrm{A}\to\tfrac{1}{2}\mathrm{B} (elementar), isotérmica;
    • velocidade elementar (ordem 1): constante cinética k = 3{,}11 (unidade adequada);
    • conversão de projeto: X_{\mathrm{proj}} = 0{,}80;
    • conversão atual: X_{\mathrm{atu}} = 0{,}50;
    • pressão de projeto na saída: 10\\ \text{atm} (informação de projeto);
    • pressão total de alimentação: P_{o}=50\\ \text{atm} (confirmado inalterado);
    • vazão molar de alimentação confirmada: F_{A0}=100\\ \mathrm{mol/s} (inalterada);
    • concentração inicial medida na situação atual: C_{A0}=0{,}3\\ \mathrm{mol/L} (dado);
    • \varepsilon x \ll 1 somente para a equação de perda de carga (ou seja, a variação volumétrica do gás por reação é desprezível apenas no cálculo de queda de pressão);
    • \beta constante em todas as situações;
    • e foi informado no enunciado a resposta desejada: “A vazão volumétrica de alimentação dobrou o seu valor em 333{,}3\\ \mathrm{L/s}”.

Passo 2

Modelo de projeto do reator tubular com recheio (PBR) para reação de primeira ordem (explicando as fórmulas).
  • Em um reator em fluxo plugue heterogêneo com catalisador (PBR), a equação de projeto relaciona a massa de catalisador W com a variação do fluxo molar de A:
W=\int_{F_{A0}}^{F_A}\frac{-\,dF_A}{r_A'},
onde r_A' é a velocidade da reação por unidade de massa de catalisador (unidade: \mathrm{mol/(kg_{cat}\cdot s)}).
  • Para reação elementar de primeira ordem em A, a velocidade específica por massa de catalisador pode ser escrita (incluindo um fator de atividade \alpha) como
r_A' = k\,\alpha\,C_A.
Aqui:
  • k é a constante cinética (unidade depende do sistema, mas aparece como fator multiplicativo),
  • \alpha é um fator relacionado à atividade do catalisador (constante no projeto),
  • C_A é a concentração de A no fluido (unidade: \mathrm{mol/L} ou \mathrm{mol/m^3}).
  • Em regime de fluxo plugue, o fluxo molar de A é F_A = F_{A0}(1-X), e se a variação volumétrica por reação puder ser desprezada para a equação de balanço de material (ou se considerarmos concentrações relativas à vazão instantânea), podemos tomar C_A = C_{A0}(1-X) quando a vazão volumétrica de alimentação é constante ou quando usamos C_{A0} como referência. Substituindo na equação de projeto e integrando, obtém-se, após simplificação clássica para primeira ordem:
W=\frac{F_{A0}}{k\alpha C_{A0}}\;(-\ln(1-X)).
  • Multiplicando ambos os lados por \alpha (lembrando que o enunciado nos diz que W\alpha é constante entre projeto e operação),
W\alpha = \frac{F_{A0}}{k C_{A0}}\;(-\ln(1-X)).
  • Observação didática: essa relação é muito útil porque mostra que, para W\alpha e k constantes, a quantidade -\ln(1-X) é diretamente proporcional a C_{A0} e inversamente proporcional a F_{A0}. Como no enunciado F_{A0} e k foram confirmados inalterados e W\alpha é dito constante, quaisquer mudanças de X só podem vir de mudanças em C_{A0} (ou, equivalentemente, da vazão volumétrica de alimentação, já que v_0 = F_{A0}/C_{A0}).

Passo 3

Comparação entre projeto e situação atual: relação entre concentrações iniciais e conversões.
  • Escrevemos a relação para projeto (índice “proj”) e situação atual (índice “atu”), lembrando que W\alpha e k e F_{A0} são os mesmos:
\frac{-\ln(1-X_{\mathrm{atu}})}{-\ln(1-X_{\mathrm{proj}})} = \frac{C_{A0,\mathrm{atu}}}{C_{A0,\mathrm{proj}}}.
  • Substituindo X_{\mathrm{proj}}=0{,}80 e X_{\mathrm{atu}}=0{,}50:
-\ln(1-0{,}5) = -\ln(0{,}5)=0{,}693147\ldots
-\ln(1-0{,}8) = -\ln(0{,}2)=1{,}6094379\ldots
Logo
\frac{C_{A0,\mathrm{atu}}}{C_{A0,\mathrm{proj}}} = \frac{0{,}693147}{1{,}609438} \approx 0{,}4307.
  • Interpretação: a concentração inicial na situação atual é aproximadamente 43{,}07\% da concentração inicial de projeto. Ou seja, a concentração de alimentação diminuiu a cerca de 0{,}4307 do valor projetado (isso pode acontecer porque a vazão volumétrica aumentou mantendo a mesma vazão molar F_{A0}).

Passo 4

Converter a mudança de concentração em vazões volumétricas (quantificação).
  • A vazão volumétrica de alimentação relaciona-se com a vazão molar e a concentração por
v_0=\frac{F_{A0}}{C_{A0}}.
  • Na situação atual temos (usar unidades L para ficar com o resultado em L/s; como C_{A0} está em \mathrm{mol/L} e F_{A0} em \mathrm{mol/s}, a razão dá \mathrm{L/s}):
v_{0,\mathrm{atu}}=\frac{F_{A0}}{C_{A0,\mathrm{atu}}}=\frac{100\\ \mathrm{mol/s}}{0{,}3\\ \mathrm{mol/L}}=333{,}333\\ \mathrm{L/s}.
  • Usando a relação entre concentrações do passo anterior, a concentração de projeto seria
C_{A0,\mathrm{proj}}=\frac{C_{A0,\mathrm{atu}}}{0{,}4307}\approx\frac{0{,}3}{0{,}4307}\approx0{,}6969\\ \mathrm{mol/L},
e então a vazão volumétrica de projeto seria
v_{0,\mathrm{proj}}=\frac{F_{A0}}{C_{A0,\mathrm{proj}}}\approx\frac{100}{0{,}6969}\approx143{,}5\\ \mathrm{L/s}.
  • Portanto a vazão volumétrica atual é
v_{0,\mathrm{atu}}=333{,}333\\ \mathrm{L/s},
ou seja, a vazão volumétrica aumentou significativamente em relação ao valor de projeto (fator aproximadamente 2{,}323, aumento absoluto \approx189{,}8\\ \mathrm{L/s}).

Passo 5

Interpretação física e conclusão (por que essa alteração reduz a conversão).
  • Explicação física simples: mantendo-se o mesmo número de mols de A por segundo ( F_{A0} fixo) e diminuindo-se a concentração inicial C_{A0} (o que corresponde a aumentar a vazão volumétrica), o tempo de residência efetivo do reagente junto ao catalisador diminui. Como a reação é de primeira ordem, a fração reagida por passagem depende do produto k\,C_{A0}\,W\alpha/F_{A0}; com W\alpha, k e F_{A0} fixos, a queda de C_{A0} ocasiona diretamente a queda de -\ln(1-X) e, portanto, de X.
  • Conclusão prática: a mudança observada (queda de 80\% para 50\% de conversão) pode ser explicada por uma redução da concentração de alimentação (ou, equivalente, por um aumento da vazão volumétrica) mantendo os demais parâmetros constantes. A vazão volumétrica atual calculada a partir dos dados fornecidos é 333{,}333\\ \mathrm{L/s}, valor que corresponde a um aumento expressivo em relação ao projeto.

Resposta

A vazão volumétrica de alimentação dobrou o seu valor em 333{,}3\\ \mathrm{L/s}.

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