Uma pequena cidade do Vale do Jequitinhonha é abastecida por uma velha adutora por gravidade de 5.400 m de extensão e 150 mm de diâmetro. A captação realiza-se por meio de uma pequena barragem, cujo N.A. mínimo está à cota 963 m , e a água aflui até um reservatório cujo extravasor está a cota 949 m . Objetivando elevar a vazão afluente e reduzir os vazamentos, a Prefeitura Municipal decidiu substituir um terço da adutora por uma tubulação de PVC (
) de idêntico diâmetro. A vazão afluente era
e a Prefeitura tencionava aumentá-la em, pelo menos,
. Você avalizaria tecnicamente esta decisão? Justifique
Obs: Desconsidere as perdas localizadas e a parcela da energia referente à carga cinética.
Obs: Desconsidere as perdas localizadas e a parcela da energia referente à carga cinética.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
- Comprimento total da adutora:
. - Diâmetro interno:
. - Cota mínima da captação:
. - Cota do extravasor do reservatório:
. - Diferença de carga (cota de água disponível para vencer perdas):
- Vazão atual:
- A Prefeitura vai substituir um terço do comprimento por tubo de PVC com fator de atrito dado
. Logo: -
. -
.
-
- Desejo da Prefeitura: aumentar a vazão em pelo menos
, ou seja . - Observação do enunciado: desprezar perdas localizadas e parcela de energia referente à carga cinética (portanto só consideramos perdas por atrito distribuído ao longo da tubulação).
- Pergunta prática: avaliar tecnicamente se substituir 1/3 por PVC (com
) resulta em aumento de vazão . Justificar com cálculos.
Passo 2
Conceito e equação que vamos usar (explicando cada termo).
Para perdas por atrito em tubos usa-se a equação de Darcy–Weisbach:
onde
-
é a perda de carga (m); -
é o fator de atrito (adimensional); -
é o comprimento do trecho considerado (m); -
é o diâmetro interno (m); -
é a velocidade média do fluido no tubo (m/s); -
é a aceleração da gravidade ( ).
Como temos dois materiais com mesmo diâmetro e a mesma vazão atravessa toda a tubulação, a velocidade
é a mesma em todos os trechos e as perdas totais somam-se. Podemos escrever a perda total como
É conveniente definir um fator de atrito médio ponderado:
de modo que
Além disso,
com
. Assim, conhecendo
e
podemos determinar
(no caso inicial) e, a partir daí, avaliar o efeito da substituição.
Passo 3
Calcular área da seção e velocidade com a vazão atual.
Área:
Velocidade atual:
Calcule também o termo
:
Passo 4
Determinar o fator de atrito equivalente inicial
(antes de substituir), usando
.
Primeiro calcule
:
Da equação
temos
Substituindo números:
Interpretação: o valor
é o fator de atrito médio da adutora antiga (faz sentido para tubulação muito envelhecida/áspera).
Passo 5
Como inicialmente toda a tubulação era velha, concluímos que
Agora, após substituir
com
, o novo fator equivalente é
Substituindo
,
:
Calcule:
Passo 6
Determinar a nova velocidade
e a nova vazão
sob a mesma carga
.
Da equação
isolamos
:
Substituindo valores:
A nova vazão:
Passo 7
Calcular o aumento percentual da vazão e comparar com a meta de
.
Aumento absoluto:
.
Aumento percentual:
Comparação:
. Portanto, substituir apenas um terço do comprimento por PVC NÃO atende à meta de aumento de
.
Passo 8
Comentário técnico e sugestão prática (curto e útil).
- Razão física: a vazão em uma tubulação alimentada por uma dada carga
depende inversamente da raiz quadrada do fator de atrito equivalente: . Reduzir parte do tubo para um material com menor reduz , mas a relação é de raiz quadrada, então cortes de produzem ganhos moderados de vazão. - Se a meta é aumentos maiores, precisa-se substituir uma fração maior do comprimento ou aumentar o diâmetro (aumento de diâmetro é muito mais eficiente em aumentar vazão, por reduzir
e aumentar ). - Podemos calcular a fração
da adutora que deveria ser substituída para atingir exatamente . Queremos . Como , precisa-se de
Resolvendo para
em
obtemos
Ou seja, seria necessário substituir cerca de
do comprimento, isto é aproximadamente
, para alcançar a meta de
.
Resposta
Não. Substituir somente
da adutora por PVC (
) elevaria a vazão de
para cerca de
, um aumento de aproximadamente
, abaixo dos
pretendidos.
Para alcançar seria necessário substituir cerca de
da extensão (≈
) por PVC ou considerar aumentar o diâmetro da tubulação.
Para alcançar