Uma pequena cidade do Vale do Jequitinhonha é abastecida por uma velha adutora por gravidade de 5.400 m de extensão e 150 mm de diâmetro. A captação realiza-se por meio de uma pequena barragem, cujo N.A. mínimo está à cota 963 m , e a água aflui até um reservatório cujo extravasor está a cota 949 m . Objetivando elevar a vazão afluente e reduzir os vazamentos, a Prefeitura Municipal decidiu substituir um terço da adutora por uma tubulação de PVC ( \mathrm{f}=0,016 ) de idêntico diâmetro. A vazão afluente era 7,2 \mathrm{l} / \mathrm{s} e a Prefeitura tencionava aumentá-la em, pelo menos, 20 \%. Você avalizaria tecnicamente esta decisão? Justifique
Obs: Desconsidere as perdas localizadas e a parcela da energia referente à carga cinética.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Comprimento total da adutora: L=5400\\ \text{m}.
  • Diâmetro interno: D=150\\ \text{mm}=0{,}15\\ \text{m}.
  • Cota mínima da captação: 963\\ \text{m}.
  • Cota do extravasor do reservatório: 949\\ \text{m}.
  • Diferença de carga (cota de água disponível para vencer perdas): H = 963-949 = 14\\ \text{m}.
  • Vazão atual: Q_0 = 7{,}2\\ \text{L/s} = 0{,}0072\\ \text{m}^3/\text{s}.
  • A Prefeitura vai substituir um terço do comprimento por tubo de PVC com fator de atrito dado f_{\text{PVC}}=0{,}016. Logo:
    • L_{\text{PVC}} = \dfrac{1}{3}L = 1800\\ \text{m}.
    • L_{\text{velha}} = \dfrac{2}{3}L = 3600\\ \text{m}.
  • Desejo da Prefeitura: aumentar a vazão em pelo menos 20\%, ou seja Q_{\text{desejada}} = 1{,}2\,Q_0.
  • Observação do enunciado: desprezar perdas localizadas e parcela de energia referente à carga cinética (portanto só consideramos perdas por atrito distribuído ao longo da tubulação).
  • Pergunta prática: avaliar tecnicamente se substituir 1/3 por PVC (com f=0{,}016) resulta em aumento de vazão \ge 20\%. Justificar com cálculos.

Passo 2

Conceito e equação que vamos usar (explicando cada termo).
Para perdas por atrito em tubos usa-se a equação de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde
  • h_f é a perda de carga (m);
  • f é o fator de atrito (adimensional);
  • L é o comprimento do trecho considerado (m);
  • D é o diâmetro interno (m);
  • V é a velocidade média do fluido no tubo (m/s);
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \text{m/s}^2).
Como temos dois materiais com mesmo diâmetro e a mesma vazão atravessa toda a tubulação, a velocidade V é a mesma em todos os trechos e as perdas totais somam-se. Podemos escrever a perda total como
H = \left( \frac{f_{\text{velha}}L_{\text{velha}} + f_{\text{PVC}}L_{\text{PVC}}}{D} \right)\frac{V^2}{2g}.
É conveniente definir um fator de atrito médio ponderado:
f_{\text{eq}} = \frac{f_{\text{velha}}L_{\text{velha}} + f_{\text{PVC}}L_{\text{PVC}}}{L},
de modo que
H = f_{\text{eq}}\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Além disso, Q = A V com A=\dfrac{\pi D^2}{4}. Assim, conhecendo Q e H podemos determinar f_{\text{eq}} (no caso inicial) e, a partir daí, avaliar o efeito da substituição.

Passo 3

Calcular área da seção e velocidade com a vazão atual.
Área:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}15)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}005625 \approx 0{,}0176715\\ \text{m}^2.
Velocidade atual:
V_0 = \frac{Q_0}{A} = \frac{0{,}0072}{0{,}0176715} \approx 0{,}4074\\ \text{m/s}.
Calcule também o termo \dfrac{V_0^2}{2g}:
\frac{V_0^2}{2g} = \frac{(0{,}4074)^2}{2\cdot 9{,}81} \approx 0{,}008468\\ \text{m}.

Passo 4

Determinar o fator de atrito equivalente inicial f_{\text{eq,0}} (antes de substituir), usando H=14\\ \text{m}.
Primeiro calcule \dfrac{L}{D}:
\frac{L}{D} = \frac{5400}{0{,}15} = 36000.
Da equação
H = f_{\text{eq,0}}\,\frac{L}{D}\,\frac{V_0^2}{2g},
temos
f_{\text{eq,0}} = \frac{H}{\dfrac{L}{D}\,\dfrac{V_0^2}{2g}}.
Substituindo números:
f_{\text{eq,0}} = \frac{14}{36000\cdot 0{,}008468} \approx \frac{14}{304{,}85} \approx 0{,}04593.
Interpretação: o valor f_{\text{eq,0}}\approx 0{,}046 é o fator de atrito médio da adutora antiga (faz sentido para tubulação muito envelhecida/áspera).

Passo 5

Como inicialmente toda a tubulação era velha, concluímos que
f_{\text{velha}} = f_{\text{eq,0}} \approx 0{,}04593.
Agora, após substituir L_{\text{PVC}}=1800\\ \text{m} com f_{\text{PVC}}=0{,}016, o novo fator equivalente é
f_{\text{eq,new}} = \frac{f_{\text{velha}}L_{\text{velha}} + f_{\text{PVC}}L_{\text{PVC}}}{L}.
Substituindo L_{\text{velha}}=3600\\ \text{m}, L_{\text{PVC}}=1800\\ \text{m}:
f_{\text{eq,new}} = \frac{0{,}04593\cdot 3600 + 0{,}016\cdot 1800}{5400}.
Calcule:
0{,}04593\cdot 3600 \approx 165{,}348,\qquad 0{,}016\cdot 1800 = 28{,}8,
f_{\text{eq,new}} = \frac{165{,}348 + 28{,}8}{5400} = \frac{194{,}148}{5400} \approx 0{,}03594.

Passo 6

Determinar a nova velocidade V_{\text{new}} e a nova vazão Q_{\text{new}} sob a mesma carga H=14\\ \text{m}.
Da equação
H = f_{\text{eq,new}}\,\frac{L}{D}\,\frac{V_{\text{new}}^2}{2g},
isolamos V_{\text{new}}:
V_{\text{new}}^2 = \frac{2gH}{f_{\text{eq,new}}\dfrac{L}{D}}.
Substituindo valores:
f_{\text{eq,new}}\frac{L}{D} = 0{,}03594\cdot 36000 \approx 1293{,}8,
V_{\text{new}}^2 = \frac{2\cdot 9{,}81\cdot 14}{1293{,}8} = \frac{274{,}68}{1293{,}8} \approx 0{,}21227,
V_{\text{new}} \approx \sqrt{0{,}21227} \approx 0{,}4608\\ \text{m/s}.
A nova vazão:
Q_{\text{new}} = A V_{\text{new}} = 0{,}0176715\cdot 0{,}4608 \approx 0{,}00814\\ \text{m}^3/\text{s} = 8{,}14\\ \text{L/s}.

Passo 7

Calcular o aumento percentual da vazão e comparar com a meta de 20\%.
Aumento absoluto: 8{,}14 - 7{,}20 = 0{,}94\\ \text{L/s}.
Aumento percentual:
\frac{8{,}14 - 7{,}20}{7{,}20}\times 100\% \approx \frac{0{,}94}{7{,}20}\times 100\% \approx 13{,}05\%.
Comparação: 13{,}05\% < 20\%. Portanto, substituir apenas um terço do comprimento por PVC NÃO atende à meta de aumento de 20\%.

Passo 8

Comentário técnico e sugestão prática (curto e útil).
  • Razão física: a vazão em uma tubulação alimentada por uma dada carga H depende inversamente da raiz quadrada do fator de atrito equivalente: Q\propto V\propto 1/\sqrt{f_{\text{eq}}}. Reduzir parte do tubo para um material com f menor reduz f_{\text{eq}}, mas a relação é de raiz quadrada, então cortes de f produzem ganhos moderados de vazão.
  • Se a meta é aumentos maiores, precisa-se substituir uma fração maior do comprimento ou aumentar o diâmetro (aumento de diâmetro é muito mais eficiente em aumentar vazão, por reduzir L/D e aumentar A).
  • Podemos calcular a fração x da adutora que deveria ser substituída para atingir exatamente 20\%. Queremos Q_{\text{target}}=1{,}2\,Q_0. Como V\propto 1/\sqrt{f_{\text{eq}}}, precisa-se de
f_{\text{eq,target}} = \frac{f_{\text{eq,0}}}{(1{,}2)^2} = \frac{0{,}04593}{1{,}44} \approx 0{,}03188.
Resolvendo para x em
f_{\text{eq,target}} = (1-x)f_{\text{velha}} + x f_{\text{PVC}},
obtemos
x = \frac{f_{\text{velha}} - f_{\text{eq,target}}}{f_{\text{velha}} - f_{\text{PVC}}} = \frac{0{,}04593 - 0{,}03188}{0{,}04593 - 0{,}016} \approx 0{,}4696.
Ou seja, seria necessário substituir cerca de 46{,}96\% do comprimento, isto é aproximadamente 0{,}47\cdot 5400 \approx 2538\\ \text{m}, para alcançar a meta de +20\%.

Resposta

Não. Substituir somente 1/3 da adutora por PVC ( f=0{,}016) elevaria a vazão de 7{,}20\\ \text{L/s} para cerca de 8{,}14\\ \text{L/s}, um aumento de aproximadamente 13{,}05\%, abaixo dos 20\% pretendidos.
Para alcançar +20\% seria necessário substituir cerca de 47\% da extensão (≈ 2538\\ \text{m}) por PVC ou considerar aumentar o diâmetro da tubulação.

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