Deseja-se construir uma caixa de tampa aberta, com base quadrada, para guardar lápis.
Sabendo que o volume da caixa deve ser de 500 cm 3 , calcule as dimensões da caixa com o menor custo de fabricação (ou seja, as dimensões da caixa com a menor área).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados:
    • O formato da caixa é de base quadrada e tampa aberta.
    • O volume desejado é \,500\\ \text{cm}^3.
  • Pergunta:
    • Encontrar as dimensões da caixa (lado da base e altura) que minimizam o custo de fabricação, isto é, que minimizam a área da superfície da caixa (já que o custo é proporcional à área).

Passo 2

Definir variáveis e escrever as expressões usadas (cada símbolo explicado):
  • Seja \,x o comprimento do lado da base (em cm). Como a base é quadrada, sua área é \,x^2.
  • Seja \,h a altura da caixa (em cm).
  • O volume \,V da caixa é a área da base vezes a altura, logo
    V = x^2 h.
    Aqui \,V é conhecido: \,V=500\\ \text{cm}^3.
  • A área total da caixa com tampa aberta é a área da base mais a área das quatro faces laterais. Cada face lateral tem área \,x\cdot h, e há quatro delas. Então a área total \,A é
    A = x^2 + 4xh.
    Onde \,A é a quantidade que queremos minimizar (menor custo).

Passo 3

Usar a restrição do volume para eliminar uma variável (expressar \,h em função de \,x):
  • Da equação do volume:
    x^2 h = 500 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{500}{x^2}.
    Aqui substitui-se a informação do enunciado (peguei \,500\\ \text{cm}^3 do enunciado).
  • Substituindo em \,A:
    A(x) = x^2 + 4x\left(\frac{500}{x^2}\right).
    Simplificando:
    A(x) = x^2 + \frac{2000}{x}.
    Observação sobre o domínio: fisicamente \,x>0 (comprimento positivo), portanto consideramos x>0.

Passo 4

Explicar a ideia de minimizar uma função de uma variável e aplicar a derivada:
  • Ideia rápida: para encontrar extremos (mínimos ou máximos) de uma função diferenciável, procuramos pontos onde a derivada é zero (pontos críticos) e, em seguida, verificamos se esses pontos são mínimos usando o teste da segunda derivada ou outro argumento. A derivada A'(x) representa a taxa de variação da área quando mudamos ligeiramente x.
  • Calcular a derivada de A(x). Lembrando que \dfrac{d}{dx}(x^2)=2x e \dfrac{d}{dx}\!\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}:
    A(x) = x^2 + 2000 x^{-1},
    portanto
    A'(x) = 2x - 2000 x^{-2}.

Passo 5

Encontrar pontos críticos resolvendo A'(x)=0:
  • Igualando a derivada a zero: 2x - 2000 x^{-2} = 0.Multiplicando ambos os lados por x^{2} (válido pois x>0): 2x^{3} - 2000 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x^{3} = 2000.Dividindo por 2: x^{3} = 1000.Extraindo a raiz cúbica (a raiz cúbica de 1000 é 10): x = 10\\ \text{cm}.

Passo 6

Encontrar a altura correspondente usando a restrição do volume:
  • Usando \,h=\dfrac{500}{x^{2}} e substituindo x=10: h = \frac{500}{10^{2}} = \frac{500}{100} = 5\\ \text{cm}.

Passo 7

Verificar que esse ponto crítico é realmente um mínimo (teste da segunda derivada):
  • Calcular a segunda derivada de A(x). Da expressão A'(x)=2x-2000x^{-2}, deriva-se: A''(x)=2 + 4000 x^{-3}.Avaliando em x=10: A''(10)=2 + \frac{4000}{10^{3}} = 2 + \frac{4000}{1000} = 2 + 4 = 6.Como A''(10)>0, a função A(x) é côncava para cima naquele ponto, logo x=10 é um mínimo local. Como há apenas um ponto crítico positivo e o comportamento da função para x\to0^+ e x\to+\infty faz a área tender a +\infty, este mínimo local é o mínimo absoluto no domínio x>0.

Passo 8

Opcional: calcular a área mínima (só para informação extra):
  • Substituindo x=10 em A(x)=x^2+\dfrac{2000}{x}: A_{\min} = 10^{2} + \frac{2000}{10} = 100 + 200 = 300\\ \text{cm}^2.

Resposta

Lado da base x = 10\\ \text{cm}
Altura h = 5\\ \text{cm}

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