Deseja-se construir uma caixa de tampa aberta, com base quadrada, para guardar lápis.
Sabendo que o volume da caixa deve ser de 500 cm 3 , calcule as dimensões da caixa com o menor custo de fabricação (ou seja, as dimensões da caixa com a menor área).
Sabendo que o volume da caixa deve ser de 500 cm 3 , calcule as dimensões da caixa com o menor custo de fabricação (ou seja, as dimensões da caixa com a menor área).
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
-
Dados:
- O formato da caixa é de base quadrada e tampa aberta.
- O volume desejado é
.
-
Pergunta:
- Encontrar as dimensões da caixa (lado da base e altura) que minimizam o custo de fabricação, isto é, que minimizam a área da superfície da caixa (já que o custo é proporcional à área).
Passo 2
Definir variáveis e escrever as expressões usadas (cada símbolo explicado):
-
Seja
o comprimento do lado da base (em cm). Como a base é quadrada, sua área é . -
Seja
a altura da caixa (em cm). -
O volume
da caixa é a área da base vezes a altura, logo Aquié conhecido: . -
A área total da caixa com tampa aberta é a área da base mais a área das quatro faces laterais. Cada face lateral tem área
, e há quatro delas. Então a área total é Ondeé a quantidade que queremos minimizar (menor custo).
Passo 3
Usar a restrição do volume para eliminar uma variável (expressar
em função de
):
-
Da equação do volume:Aqui substitui-se a informação do enunciado (peguei
do enunciado). -
Substituindo em
: Simplificando:Observação sobre o domínio: fisicamente(comprimento positivo), portanto consideramos .
Passo 4
Explicar a ideia de minimizar uma função de uma variável e aplicar a derivada:
-
Ideia rápida: para encontrar extremos (mínimos ou máximos) de uma função diferenciável, procuramos pontos onde a derivada é zero (pontos críticos) e, em seguida, verificamos se esses pontos são mínimos usando o teste da segunda derivada ou outro argumento. A derivada
representa a taxa de variação da área quando mudamos ligeiramente . -
Calcular a derivada de
. Lembrando que e : portanto
Passo 5
Encontrar pontos críticos resolvendo
:
- Igualando a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por (válido pois ): Dividindo por : Extraindo a raiz cúbica (a raiz cúbica de é ):
Passo 6
Encontrar a altura correspondente usando a restrição do volume:
- Usando
e substituindo :
Passo 7
Verificar que esse ponto crítico é realmente um mínimo (teste da segunda derivada):
- Calcular a segunda derivada de
. Da expressão , deriva-se: Avaliando em : Como , a função é côncava para cima naquele ponto, logo é um mínimo local. Como há apenas um ponto crítico positivo e o comportamento da função para e faz a área tender a , este mínimo local é o mínimo absoluto no domínio .
Passo 8
Opcional: calcular a área mínima (só para informação extra):
- Substituindo
em :
Resposta
Lado da base
Altura
Altura