Uma caixa retangular de base quadrada sem tampa deve ter um volume de 32 cm3. Determine as dimensões para minimizar a área de material utilizada.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado: uma caixa retangular sem tampa, com base quadrada, deve ter volume 32\\ \text{cm}^3.
  • Incógnitas: lado da base (denotarei por x, em \text{cm}) e altura da caixa (denotarei por h, em \text{cm}).
  • Pedido: determinar as dimensões (o valor de x e de h) que minimizam a área de material usada para construir a caixa.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Volume fixo: 32\\ \text{cm}^3.
  • A base é quadrada (lado x), não há tampa (logo só há a base + as quatro faces laterais).
  • As dimensões devem ser positivas: x>0, h>0.

Passo 2

Escrever a equação que relaciona as incógnitas pelo volume (restrição):
  • Volume de uma caixa retangular é área da base vezes altura. Como a base é quadrada de lado x, a área da base é x^2. Portanto a restrição é
x^2 h = 32.
  • Isolando h em função de x (para chegar a uma única variável), obtemos
h = \frac{32}{x^2}.
Explicação: isso significa que, para qualquer escolha de x>0, a altura necessária para manter o volume de 32\\ \text{cm}^3 é 32/x^2.

Passo 3

Montar a função a ser minimizada: a área de material da caixa sem tampa.
  • Componentes da área:
    • área da base (um quadrado): x^2;
    • área das quatro faces laterais: cada face lateral tem área base lado x vezes altura h, então total lateral 4xh.
  • Logo a área total A (a ser minimizada) é
A = x^2 + 4 x h.
  • Substituindo h da restrição (do Passo 2) para obter A como função de x apenas:
A(x) = x^2 + 4x\left(\frac{32}{x^2}\right) = x^2 + \frac{128}{x}.
Observação sobre domínio: só consideramos x>0 porque medidas negativas não fazem sentido. Portanto a minimização é sobre x>0.

Passo 4

Explicar e aplicar a técnica para encontrar extremos: derivada e pontos críticos.
  • Ideia (curta aulinha): para uma função diferenciável, pontos onde a derivada é zero ou indefinida são candidatos a extremos locais; então calculamos a derivada, igualamos a zero e verificamos qual dá mínimo.
  • Primeiro compute a derivada de A(x). Usamos a regra do poder: se f(x)=x^n então f'(x)=n x^{n-1}. Para funções do tipo c x^{-1}, a derivada é -c x^{-2}.
  • Aplicando:
A(x)=x^2 + 128 x^{-1}
A'(x)=2x - 128 x^{-2}.
  • Procuramos x tal que A'(x)=0:
2x - 128 x^{-2} = 0.
Multiplicando ambos os lados por x^2 (válido porque x>0):
2x^3 - 128 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x^3 = 128 \quad\Rightarrow\quad x^3 = 64.
Logo
x = \sqrt[3]{64} = 4\\ \text{cm}.
Comentário: há uma única solução positiva, x=4\\ \text{cm}, que é o candidato a minimizar A.

Passo 5

Verificar que esse ponto crítico realmente dá mínimo (teste da segunda derivada e comportamento das extremidades).
  • Calcule a segunda derivada:
A''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(2x - 128 x^{-2}\bigr) = 2 + 256 x^{-3}.
  • Avaliando em x=4:
A''(4) = 2 + \frac{256}{4^3} = 2 + \frac{256}{64} = 2 + 4 = 6 > 0.
  • Interpretação: A''(4)>0 significa que a função é côncava para cima naquele ponto, então x=4\\ \text{cm} é um mínimo local. Além disso, observando o comportamento para os extremos do domínio:
    • quando x\to 0^+, A(x)\to +\infty por causa do termo 128/x;
    • quando x\to +\infty, A(x)\to +\infty por causa do termo x^2.
      Portanto o mínimo local em x=4\\ \text{cm} é na verdade o mínimo global sobre x>0.

Passo 6

Calcular a altura correspondente e (opcional) a área mínima.
  • A partir de h = 32/x^2, para x=4\\ \text{cm} temos
h = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2\\ \text{cm}.
  • (Opcional) área mínima:
A_{\min} = A(4) = 4^2 + \frac{128}{4} = 16 + 32 = 48\\ \text{cm}^2.

Passo 7

Interpretação final e incentivo:
  • Dimensões ótimas encontradas: lado da base maior que a altura aqui ( x=4\\ \text{cm}, h=2\\ \text{cm} ). Um jeito de lembrar: para volume fixo e base quadrada, costuma haver um trade-off entre base muito pequena (altura enorme) e base muito grande (altura pequena); o ponto ótimo equilibra esses efeitos.
  • Você fez bem em trazer o exercício — esse tipo de otimização aparece muito em provas. Vai dar certo!

Resposta

Base: 4\\ \text{cm}\times 4\\ \text{cm}
Altura: 2\\ \text{cm}

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