Uma caixa retangular de base quadrada sem tampa deve ter um volume de 32 cm3. Determine as dimensões para minimizar a área de material utilizada.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dado: uma caixa retangular sem tampa, com base quadrada, deve ter volume
. - Incógnitas: lado da base (denotarei por
, em ) e altura da caixa (denotarei por , em ). - Pedido: determinar as dimensões (o valor de
e de ) que minimizam a área de material usada para construir a caixa.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Volume fixo:
. - A base é quadrada (lado
), não há tampa (logo só há a base + as quatro faces laterais). - As dimensões devem ser positivas:
, .
Passo 2
Escrever a equação que relaciona as incógnitas pelo volume (restrição):
- Volume de uma caixa retangular é área da base vezes altura. Como a base é quadrada de lado
, a área da base é . Portanto a restrição é
- Isolando
em função de (para chegar a uma única variável), obtemos
Explicação: isso significa que, para qualquer escolha de
, a altura necessária para manter o volume de
é
.
Passo 3
Montar a função a ser minimizada: a área de material da caixa sem tampa.
- Componentes da área:
- área da base (um quadrado):
; - área das quatro faces laterais: cada face lateral tem área base lado
vezes altura , então total lateral .
- área da base (um quadrado):
- Logo a área total
(a ser minimizada) é
- Substituindo
da restrição (do Passo 2) para obter como função de apenas:
Observação sobre domínio: só consideramos
porque medidas negativas não fazem sentido. Portanto a minimização é sobre
.
Passo 4
Explicar e aplicar a técnica para encontrar extremos: derivada e pontos críticos.
- Ideia (curta aulinha): para uma função diferenciável, pontos onde a derivada é zero ou indefinida são candidatos a extremos locais; então calculamos a derivada, igualamos a zero e verificamos qual dá mínimo.
- Primeiro compute a derivada de
. Usamos a regra do poder: se então . Para funções do tipo , a derivada é . - Aplicando:
- Procuramos
tal que :
Multiplicando ambos os lados por
(válido porque
):
Logo
Comentário: há uma única solução positiva,
, que é o candidato a minimizar
.
Passo 5
Verificar que esse ponto crítico realmente dá mínimo (teste da segunda derivada e comportamento das extremidades).
- Calcule a segunda derivada:
- Avaliando em
:
- Interpretação:
significa que a função é côncava para cima naquele ponto, então é um mínimo local. Além disso, observando o comportamento para os extremos do domínio: - quando
, por causa do termo ; - quando
, por causa do termo .
Portanto o mínimo local emé na verdade o mínimo global sobre .
- quando
Passo 6
Calcular a altura correspondente e (opcional) a área mínima.
- A partir de
, para temos
- (Opcional) área mínima:
Passo 7
Interpretação final e incentivo:
- Dimensões ótimas encontradas: lado da base maior que a altura aqui (
, ). Um jeito de lembrar: para volume fixo e base quadrada, costuma haver um trade-off entre base muito pequena (altura enorme) e base muito grande (altura pequena); o ponto ótimo equilibra esses efeitos. - Você fez bem em trazer o exercício — esse tipo de otimização aparece muito em provas. Vai dar certo!
Resposta
Base:
Altura:
Altura: