Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com 8 m^3 de volume e com a forma de um paralelepípedo retangular. O material a ser utilizado na confeç̧ão das laterais custa o triplo do que será utilizado no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer construir uma caixa sem tampa que tenha um volume de 8, m^3 e tenha a forma de um paralelepípedo retangular. O objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões dessa caixa para que o custo do material utilizado seja o menor possível. O material das laterais custa três vezes mais do que o material usado no fundo da caixa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria para calcular áreas e um pouquinho de cálculo para otimizar os custos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar de:
  • $ x $ a largura,
  • $ y $ o comprimento,
  • $ h $ a altura.
Como a caixa é um paralelepípedo retangular sem tampa, o volume $ V $ dela é dado por:
x
Sabemos que $ V = 8, m^{3} $, então:
y

Passo 3

Agora, precisamos calcular o custo do material. O custo depende da área das superfícies e do preço do material. Sabemos que:
  • O material das laterais (as quatro paredes) custa três vezes mais que o do fundo.
Vamos calcular as áreas:
  • Área do fundo: $ A_{fundo} = x \cdot y $
  • Área das laterais: temos duas paredes de $ x \cdot h $ e duas de $ y \cdot h $, então:
Afundo = x cdot y

Passo 4

Vamos definir o custo. Se chamarmos o preço do material do fundo de $ C $ (uma constante qualquer), então o preço das laterais é $ 3C $. Assim, o custo total $ C_{total} $ é:
C
Podemos fatorar $ C $:
3C
Como estamos buscando minimizar o custo, podemos ignorar $ C $ na otimização, focando apenas na expressão dentro dos parênteses.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do custo:
Ctotal = x cdot y + 6(x cdot h + y cdot h)
Podemos fatorar $ h $:
h

Passo 6

Lembrando que $ x \cdot y \cdot h = 8 $, podemos expressar $ h $ em função de $ x $ e $ y $:
x cdot y cdot h = 8
Substituindo isso na expressão do custo:
h
Simplificando:
x

Passo 7

Para minimizar o custo, vamos considerar simetria e simplificar o problema assumindo que a caixa é um cubo, ou seja, $ x = y $. Isso simplifica os cálculos e geralmente resulta em custo mínimo.
Então, se $ x = y $, a equação do volume fica:
x = y
x = y
x cdot x cdot h = 8

Passo 8

Substituindo $ x = y $ e $ h = \frac{8}{x^{2}} $ na expressão do custo:
x = y
h = 8x^2
Ctotal = x^2 + 48(2x)x^2

Passo 9

Para encontrar o valor de $ x $ que minimiza o custo, vamos derivar $ C_{total} $ em relação a $ x $ e igualar a zero:
x
Igualando a derivada a zero:
Ctotal
x
dCtotaldx = 2x - 96x^2
2x - 96x^2 = 0
2x = 96x^2
Aproximando:
2x^3 = 96

Passo 10

Agora que temos $ x $, podemos encontrar $ y $ (sendo $ y = x $) e $ h $:
x
y

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam o custo do material são aproximadamente:
  • Largura ( x): 3.63, m
  • Comprimento ( y): 3.63, m
  • Altura ( h): 0.61, m

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