Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com
de volume e com a forma de um paralelepípedo retangular. O material a ser utilizado na confeç̧ão das laterais custa o triplo do que será utilizado no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer construir uma caixa sem tampa que tenha um volume de
e tenha a forma de um paralelepípedo retangular. O objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões dessa caixa para que o custo do material utilizado seja o menor possível. O material das laterais custa três vezes mais do que o material usado no fundo da caixa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria para calcular áreas e um pouquinho de cálculo para otimizar os custos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar de:
- $ x $ a largura,
- $ y $ o comprimento,
- $ h $ a altura.
Como a caixa é um paralelepípedo retangular sem tampa, o volume $ V $ dela é dado por:
Sabemos que $ V = 8, m^{3} $, então:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o custo do material. O custo depende da área das superfícies e do preço do material. Sabemos que:
- O material das laterais (as quatro paredes) custa três vezes mais que o do fundo.
Vamos calcular as áreas:
- Área do fundo: $ A_{fundo} = x \cdot y $
- Área das laterais: temos duas paredes de $ x \cdot h $ e duas de $ y \cdot h $, então:
Passo 4
Vamos definir o custo. Se chamarmos o preço do material do fundo de $ C $ (uma constante qualquer), então o preço das laterais é $ 3C $. Assim, o custo total $ C_{total} $ é:
Podemos fatorar $ C $:
Como estamos buscando minimizar o custo, podemos ignorar $ C $ na otimização, focando apenas na expressão dentro dos parênteses.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do custo:
Podemos fatorar $ h $:
Passo 6
Lembrando que $ x \cdot y \cdot h = 8 $, podemos expressar $ h $ em função de $ x $ e $ y $:
Substituindo isso na expressão do custo:
Simplificando:
Passo 7
Para minimizar o custo, vamos considerar simetria e simplificar o problema assumindo que a caixa é um cubo, ou seja, $ x = y $. Isso simplifica os cálculos e geralmente resulta em custo mínimo.
Então, se $ x = y $, a equação do volume fica:
Passo 8
Substituindo $ x = y $ e $ h = \frac{8}{x^{2}} $ na expressão do custo:
Passo 9
Para encontrar o valor de $ x $ que minimiza o custo, vamos derivar $ C_{total} $ em relação a $ x $ e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Aproximando:
Passo 10
Agora que temos $ x $, podemos encontrar $ y $ (sendo $ y = x $) e $ h $:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam o custo do material são aproximadamente:
- Largura (
): - Comprimento (
): - Altura (
):